Question

17．如图，AB为⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点M在⊙O上，PM交⊙O于另一点N，如果MO⊥AN，则tan∠OMN=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

Answer 1

分析 连接BN，由AB为⊙O的直径，得到∠ANB=90°，由于MO⊥AN，推出BN∥OM，根据三角形的中位线定理得到BN=$\frac{1}{2}$OM=1，OC=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{1}{2}$，在R_t△ABN中，根据勾股定理求出AN=$\sqrt{A{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{15}$，得到CN=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，即可得到结论．

解答 解：连接BN，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ANB=90°，
∵MO⊥AN，
∴BN∥OM，
∵BP=OB=2，
∴BN=$\frac{1}{2}$OM=1，
∵AO=BO，
∴OC=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{1}{2}$，
∴CM=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
在R_t△ABN中，AN=$\sqrt{A{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴CN=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴tan∠OMN=$\frac{CN}{CM}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}}{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线定理，熟练掌握各定理是解题的关键．