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【题目】1)问题发现

如图1,在RtABCRtCDE中,∠ACB=∠DCE90°,∠CAB=∠CDE45°,点D时线段AB上一动点,连接BE

填空:①的值为    ②∠DBE的度数为   

2)类比探究

如图2,在RtABCRtCDE中,∠ACB=∠DCE90°,∠CAB=∠CDE60°,点D是线段AB上一动点,连接BE.请判断的值及∠DBE的度数,并说明理由;

3)拓展延伸

如图3,在(2)的条件下,将点D改为直线AB上一动点,其余条件不变,取线段DE的中点M,连接BMCM,若AC2,则当CBM是直角三角形时,线段BE的长是多少?请直接写出答案.

【答案】1)①1 90°;(2,∠DBE90°,理由见解析;(3BE的长为3+3

【解析】

1)由直角三角形的性质可得∠ABC45°,可得∠DBE90°,通过证明ACD∽△BCE,可得的值;

2)通过证明ACD∽△BCE,可得的值,∠CBE=∠CAD60°,即可求∠DBE的度数;

3)分点D在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论,由直角三角形的性质可证CMBM,即可求DE2,由相似三角形的性质可得∠ABE90°BEAD,由勾股定理可求BE的长.

解:(1)∵∠ACB90°,∠CAB45°

∴∠ABC=∠CAB45°

ACBC,∠DBE=∠ABC+CBE90°

∵∠ACB=∠DCE90°

∴∠ACD=∠BCE,且∠CAB=∠CDE45°

∴△ACD∽△BCE

故答案为:190°

2,∠DBE90°

理由:∵∠ACB=∠DCE90°,∠CAB=∠CDE60°

∴∠ACD=∠BCE,∠CED=∠ABC30°

tanABCtan30°

∵∠ACB=∠DCE90°,∠CAB=∠CDE60°

RtACBRtDCE

,且∠ACD=∠BCE

∴△ACD∽△BCE

,∠CBE=∠CAD60°

∴∠DBE=∠ABC+CBE90°

3)若点D在线段AB上,如图,

由(2)知:,∠ABE90°

BEAD

AC2,∠ACB90°,∠CAB90°

AB4BC2

∵∠ECD=∠ABE90°,且点MDE中点,

CMBMDE

CBM是直角三角形,

CM2+BM2BC2=(22

BMCM

DE2

DB2+BE2DE2

∴(4AD2+AD224

AD+1

BEAD3+

若点D在线段BA延长线上,如图,

同理可得:DE2BEAD

BD2+BE2DE2

∴(4+AD2+AD224

AD1

BEAD3

综上所述:BE的长为3+3.

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