【题目】(1)问题发现
如图1,在Rt△ABC和Rt△CDE中,∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=45°,点D时线段AB上一动点,连接BE.
填空:①的值为 ; ②∠DBE的度数为 .
(2)类比探究
如图2,在Rt△ABC和Rt△CDE中,∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=60°,点D是线段AB上一动点,连接BE.请判断的值及∠DBE的度数,并说明理由;
(3)拓展延伸
如图3,在(2)的条件下,将点D改为直线AB上一动点,其余条件不变,取线段DE的中点M,连接BM、CM,若AC=2,则当△CBM是直角三角形时,线段BE的长是多少?请直接写出答案.
【答案】(1)①1; ②90°;(2)=
,∠DBE=90°,理由见解析;(3)BE的长为3+
或3﹣
【解析】
(1)由直角三角形的性质可得∠ABC=45°,可得∠DBE=90°,通过证明△ACD∽△BCE,可得的值;
(2)通过证明△ACD∽△BCE,可得的值,∠CBE=∠CAD=60°,即可求∠DBE的度数;
(3)分点D在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论,由直角三角形的性质可证CM=BM=,即可求DE=2
,由相似三角形的性质可得∠ABE=90°,BE=
AD,由勾股定理可求BE的长.
解:(1)∵∠ACB=90°,∠CAB=45°,
∴∠ABC=∠CAB=45°,
∴AC=BC,∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°,
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACD=∠BCE,且∠CAB=∠CDE=45°,
∴△ACD∽△BCE,
∴,
故答案为:1,90°;
(2),∠DBE=90°;
理由:∵∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=60°,
∴∠ACD=∠BCE,∠CED=∠ABC=30°,
∴tan∠ABC=tan30°==
,
∵∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=60°,
∴Rt△ACB∽Rt△DCE,
∴,
∴,且∠ACD=∠BCE,
∴△ACD∽△BCE,
∴=
,∠CBE=∠CAD=60°,
∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°;
(3)若点D在线段AB上,如图,
由(2)知:=
,∠ABE=90°,
∴BE=AD,
∵AC=2,∠ACB=90°,∠CAB=90°,
∴AB=4,BC=2,
∵∠ECD=∠ABE=90°,且点M是DE中点,
∴CM=BM=DE,
且△CBM是直角三角形,
∴CM2+BM2=BC2=(2)2,
∴BM=CM=,
∴DE=2,
∵DB2+BE2=DE2,
∴(4﹣AD)2+(AD)2=24,
∴AD=+1,
∴BE=AD=3+
;
若点D在线段BA延长线上,如图,
同理可得:DE=2,BE=
AD,
∵BD2+BE2=DE2,
∴(4+AD)2+(AD)2=24,
∴AD=﹣1,
∴BE=AD=3﹣
,
综上所述:BE的长为3+或3﹣
.
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【题目】已知二次函数的顶点坐标为
,
.
(1)若该函数图象过点.
①求该函数解析式;
②,函数图象上点
到x轴的距离最小值为1,则t的值为______;
(2)若点P在函数的图象上,且
,求h的最大值.
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【题目】如图点P为双曲线上一动点.连接OP并延长到点A,使
,过点A作x轴的垂线,垂足为B,交双曲线于点C.当
时,连接PC,将
沿直线PC进行翻折,则翻折后的
与四边形BOPC的重叠部分(图中阴影部分)的面积是_______________
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【题目】如图,点C在以AB为直径的⊙O上,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)求证:AC2=ADAB;
(3)若AD=,sinB=
,求线段BC的长.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,以D为圆心,D长为半径作作⊙D.
⑴求证:AC是⊙D的切线.
⑵设AC与⊙D切于点E,DB=1,连接DE,BF,EF.
①当∠BAD= 时,四边形BDEF为菱形;
②当AB= 时,△CDE为等腰三角形.
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【题目】如图,在中,
,
,
,P是BC上一动点,过P作AP的垂线交CD于E,将
翻折得到
,延长FP交AB于H,连结AE,PE交AC于G.
(1)求证;
(2)当时,求AE的长;
(3)当时,求AG的长.
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【题目】已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=|m|.
(1)求证:对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.
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【题目】如图,在边长为1的正方形网格中,,
,
,
,
绕
点顺时针旋转
得
(点
与点
对应).
(1)直接写出的值:
;
(2)用无刻度直尺作出点并直接写出
的坐标(保留作图痕迹,不写作法);
(3)若格点在
的角平分线上,这样的格点
(不包括点
有) 个(直接写出答案)
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【题目】如图,在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆,拉线CE和地面成60°角,在离电线杆6米的B处安置测角仪,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°,已知测角仪高AB为1.5米,求拉线CE的长(结果保留根号).
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