Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，D长为半径作作⊙D.

⑴求证：AC是⊙D的切线.

⑵设AC与⊙D切于点E，DB=1，连接DE，BF，EF.

①当∠BAD= 时，四边形BDEF为菱形；

②当AB= 时，△CDE为等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①30°，②+1

【解析】

(1) 作DE⊥AC于M,由∠ABC=90°，进一步说明DM=DB，即DB是⊙D的半径，即可完成证明；

（2）①先说明△BDF是等边三角形，再运用直角三角形的内角和定理解答即可；②先说明DE=CE=BD=1，再设AB=x，则AE=x，分别表示出AC、BC、AB的长，然后再运用 勾股定理 解答即可.

⑴证明：如图：作DE⊥AC于M，

∵∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，

∴DE=DB.

∴DM是⊙D的半径，

∴AC是⊙D的切线；

⑵①如图：

∵四边形BDEF为菱形；

∴△BDF是等边三角形

∴∠ADB=60°

∴∠BAD=90°-60°=30°

∴当∠BAD=30°时，四边形BDEF为菱形；

②∵△CDE为等腰三角形.

∴DE=CE=BD=1，

∴DC=

设AB=x，则AE=x

∴在Rt△ABC中，AB=x，AC=1+x，BC=1+

∴ ，解得x=+1

∴当AB=+1时，△CDE为等腰三角形.