【题目】已知四边形ABCD中,AB=AD,AC平分∠DAB,过点C作CE⊥AB于点E,点F为AB上一点,且EF=EB,△DGC∽△ADC.
(1)求证:CD=CF;
(2)H为线段DG上一点,连结AH,若∠ADC=2∠HAG,AD=5,DC=3,求的值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)求出∠DAC=∠BAC,根据全等三角形的判定得出△ADC≌△ABC,根据全等三角形的性质得出CD=CB即可;
(2)根据相似三角形的性质和判定定理即可得到结论.
(1)证明:∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠BAC,
在△ADC和△ABC中,
∴△ADC≌△ABC(SAS),
∴CD=CB,
∵CE⊥AB,EF=EB,
∴CF=CB,
∴CD=CF;
(2)解:∵△DGC∽△ADC,
∴∠DGC=∠ADC,
∵∠ADC=2∠HAG,
∴∠DCG=2∠HAG,
∵∠DGC=∠HAG+∠AHG,
∴∠HAG=∠AHG,
∴HG=AG,
∵∠GDC=∠DAC=∠FAG,∠DGC=∠AGF,
∴△DGC∽△AGF,
∴△AGF∽△ADC,
∴==,
即=.
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【题目】如图,在10×10的网格中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点,例如A(3,0),B(4,3)都是格点。将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△COD(点A,B的对应点分别为点C 、D)。
(1)作出△COD,并写出下列各点的坐标:C( ),D( );
(2)仅用无刻度的直尺找一格点E,使得EB⊥AB,请标明格点E的位置;
(3)仅用无刻度的直尺在OB上找一点F,使得∠OAF=45°(请标明辅助格点M的位置)
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:y=﹣x﹣1,双曲线y=,在l上取一点A1,过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1,过B1作y轴的垂线交l于点A2,请继续操作并探究:过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2,过B2作y轴的垂线交l于点A3,…,这样依次得到l上的点A1,A2,A3,…,An,…记点An的横坐标为an,若a1=2,则a2018=_____;若要将上述操作无限次地进行下去,则a1不可能取的值是_____.
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【题目】如图,菱形ABCD的边AD⊥y轴,垂足为点E,顶点A在第二象限,顶点B在y轴的正半轴上,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象同时经过顶点C,D.若点C的横坐标为5,BE=3DE,则k的值为( )
A. B. 3 C. D. 5
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【题目】对任意一个三位数n,如果n满足各数位上的字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为.例如,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的好得到132,这三个新三位数的和为,,所以.
(1)计算:,;
(2)若s,t都是“相异数”,其中,(,,x,y都是正整数),规定:,当时,求k的最大值.
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【题目】如图,点A为x轴上一点,点B的坐标为(a,b),以OA,AB为边构造OABC,过点O,C,B的抛物线与x轴交于点D,连结CD,交边AB于点E,若AE=BE,则点C的横坐标为( )
A.a﹣bB.C.D.
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【题目】为弘扬中华传统文化,黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”.比赛项目为:A.唐诗;B.宋词;C.论语;D.三字经.比赛形式分“单人组”和“双人组”.
(1)小丽参加“单人组”,她从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“三字经”的概率是多少?
(2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛,比赛规则是:同一小组的两名队员的比赛项目不能相同,且每人只能随机抽取一次,则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少?请用画树状图或列表的方法进行说明.
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【题目】如图1,在中,,点分别在边上,,连接,点分别为的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段与的数量关系是________,的度数是________;
(2)探究证明
把绕点逆时针方向旋转到图2的位置,连接,判断的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转,若,请直接写出面积的取值范围.
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