Question

14．如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．
（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，则有∠MPB+∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．若将直线MN绕点P旋转，
（ⅰ）如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否依然成立，并说明理由；
（ⅱ）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（ⅰ）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠1+∠2，进而求出∠BPC即可解决问题．
（2）运用（1）中的结论，结合三角形的内角和定理逐一分类解析，即可解决问题．

解答 解：（1）如图①∵在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，且∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∵∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×100°=50°，
∴∠BPC=180°-（∠1+∠2）=180°-50°=130°．

（2）（ⅰ）如图③，由（1）知：∠BPC=180°-（∠1+∠2）；
∵∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°$-\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BPC=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（ⅱ）不成立，∠MPB-∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
如图④，由（ⅰ）知：∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC
=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）
=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

点评 该题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的内角和定理、角平分线的定义等几何知识点是基础，灵活运用是关键．