Question

4．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E，F分别在OA，OB上，且OE=OF，BE和CF有特殊的大小关系吗？BE和CF有特殊的位置关系吗？证明你的结论．

Answer 1

分析 延长CF交BE于G，先证出AE=BF，再根据SAS证明△ABE≌△BCF，即可得出BE=CF，ABE=∠BCF，再根据角的互余关系即可证出BE⊥CF．

解答 解：BE和CF有特殊的大小关系：BE=CF；有特殊的位置关系：BE⊥CF；
理由如下：延长CF交BE于G，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，OA=OB，∠BAD=∠ABC=90°，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，
∴∠BAE=∠CBF=45°，
又∵OE=OF，
∴AE=BF，
在△ABE和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠BAE=∠CBF}&{\;}\\{AE=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴BE=CF，∠ABE=∠BCF，
∵∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠BCF+∠CBE=90°，
∴∠CGB=90°，
∴BE⊥CF．

点评 本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．