Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，-2），以点A为圆心、AO为半径画圆，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于B、C两点，点E是x轴上的一个动点．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）直线CE与⊙O有哪几种位置关系？
（3）当直线CE是⊙O的切线时，求点E的坐标．

Answer 1

解：（1）在直线y=-x+4中，
令y=0，则x=4，
∴点B的坐标为（4，0），
令x=0，则y=4，
∴点C的坐标为（0，4）；

（2）直线CE与⊙O有相离、相切、相交三种位置关系；

（3）设直线CE与⊙O相切于点P（点P在第四象限），交x轴于点E，连接AP，如图，则AP⊥CP，
∵点C的坐标为（0，4），A点坐标为（0，-2），
∴OC=4，OA=2，
在Rt△CAP中，AC=OA+OC=6，AP=OA=2，PC==4，
∵∠ECO=∠ACP，
∴Rt△COE∽Rt△CPA，
∴OE：PA=OC：CP，即OE：2=4：4，
∴OE=，
∴E点坐标为（，0），
当⊙O的切线为CP′，P′为切点，CP′与x轴的交点为E′，则CA平分∠PCP′，则CO垂直平分EE′，则点E′的坐标为（-，0），
∴点E的坐标为（，0），（，0）．
分析：（1）对于y=-x+4，令y=0，则x=4；令x=0，则y=4，即可得到B点和C点坐标；
（2）根据直线与圆的三种位置关系进行回答；
（3）分类讨论：设直线CE与⊙O相切于点P（点P在第四象限），交x轴于点E，连接AP，根据切线的性质得到AP⊥CP，先得到OC=4，OA=2，再利用勾股定理计算出PC=4，根据相似三角形的判定方法得到Rt△COE∽Rt△CPA，则OE：PA=OC：CP，即OE：2=4：4，可求出OE=，E点坐标为（，0），当⊙O的切线为CP′，P′为切点，CP′与x轴的交点为E′，然后根据切线长定理得到
CO垂直平分EE′，则点E′的坐标为（-，0），即可得到满足条件的点E的坐标为（，0），（，0）．
点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质定理、切线长定理和直线与圆的位置关系等是解决圆的综合题的关键；运用相似三角形的判定与性质和勾股定理是解决几何计算常用的方法；对于综合题一般采用各个击破的方式解决．