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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B-20),点C80),与y轴交于点A

1)求二次函数y=ax2+bx+4的表达式;

2)连接ACAB,若点N在线段BC上运动(不与点BC重合),过点NNM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求N点的坐标;

3)连接OM,在(2)的结论下,求OMAC的数量关系.

【答案】1y=﹣x2+x+4;(2N30);(3OM=AC

【解析】试题分析:(1)由BC的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;

2)可设Nn0),则可用n表示出△ABN的面积,由NM∥AC,可求得,则可用n表示出△AMN的面积,再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值,即可求得N点的坐标;

3)由N点坐标可求得M点为AB的中点,由直角三角形的性质可得OM=AB,在Rt△AOBRt△AOC中,可分别求得ABAC的长,可求得ABAC的关系,从而可得到OMAC的数量关系.

试题解析:(1)将点B,点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得

解得

二次函数的表达式为y=﹣x2+x+4

2)设点N的坐标为(n0)(﹣2n8),

BN=n+2CN=8﹣n

∵B﹣20),C80),

∴BC=10

y=﹣x2+x+4中,令x=0,可解得y=4

A04),OA=4

∴SABN=BNOA=n+2×4=2n+2),

∵MN∥AC

∵﹣0

n=3时,即N30)时,△AMN的面积最大;

3)当N30)时,NBC边点,

∵MN∥AC

∴MAB边中点,

∴OM=AB

∵AB=AC=

∴AB=AC

∴OM=AC

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