【题目】(1)如图(1),在△ABC,AB=AC,O为△ABC内一点,且OB=OC,求证:直线AO垂直平分BC.以下是小明的证题思路,请补全框图中的分析过程.
(2)如图(2),在△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC上,且BD=CE.请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线(不写画法,保留画图痕迹).
(3)如图(3),在五边形ABCDE中,AB=AE,BC=DE,∠B=∠E,请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
【解析】
试题分析:(1)根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理,只要AB=AC,OB=OC即可说明直线AO垂直平分BC;
(2)连结BE、CD相交于点O,则直线AO为BC边的垂直平分线;
(3)连结BD、CE相交于点O,则直线AO为CD边的垂直平分线.先证明ABC≌△AED得到AC=AD,∠ACB=∠ADE,根据等腰三角形的性质得∠ACD=∠ADC,所以∠BCD=∠EDC,再证明△BCD≌△ECD,则∠BDC=∠ECD,所以OD=OC,于是根据线段垂直平分线定理的逆定理即可判断直线AO为CD边的垂直平分线.
解:(1)
(2)如图(2),AO为所作;
(3)如图(3),AO为所作.
在△ABC和△AED中
,
∴△ABC≌△AED,
∴AC=AD,∠ACB=∠ADE,
∴∠ACD=∠ADC,
∴∠BCD=∠EDC,
在△BCD和△EDC中,
,
∴△BCD≌△ECD,
∴∠BDC=∠ECD,
∴OD=OC,
∴AO垂直平分CD.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=30°,AB=10,点D在线段AB上,AD=2.点P,Q以相同的速度从D点同时出发,点P沿DB方向运动,点Q沿DA方向到点A后立刻以原速返回向点B运动.以PQ为直径构造⊙O,过点P作⊙O的切线交折线AC﹣CB于点E,将线段EP绕点E顺时针旋转60°得到EF,过F作FG⊥EP于G,当P运动到点B时,Q也停止运动,设DP=m.
(1)当2<m≤8时,AP=,AQ=.(用m的代数式表示)
(2)当线段FG长度达到最大时,求m的值;
(3)在点P,Q整个运动过程中,
①当m为何值时,⊙O与△ABC的一边相切?
②直接写出点F所经过的路径长是.(结果保留根号)
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【题目】家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料,它的电阻R(kΩ)随温度t(℃)(在一定范围内)变化的大致图象如图所示.通电后,发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中,电阻与温度成反比例关系,且在温度达到30℃时,电阻下降到最小值;随后电阻随温度升高而增加,温度每上升1℃,电阻增加kΩ.
(1)求当10≤t≤30时,R和t之间的关系式;
(2)求温度在30℃时电阻R的值;并求出t≥30时,R和t之间的关系式;
(3)家用电灭蚊器在使用过程中,温度在什么范围内时,发热材料的电阻不超过6 kΩ?
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【题目】如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF,两标杆相隔52米,并且建筑物AB,标杆CD和EF在同一竖直平面内,从标杆CD后退2米到点G处,在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上;从标杆FE后退4米到点H处,在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上,求建筑物的高.
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【题目】在如图所示的网格中有四条线段AB、CD、EF、GH(线段端点在格点上),
⑴选取其中三条线段,使得这三条线段能围成一个直角三角形.
答:选取的三条线段为 .
⑵只变动其中两条线段的位置,在原图中画出一个满足上题的直角三角形(顶点仍在格点,并标上必要的字母).
答:画出的直角三角形为△ .
⑶所画直角三角形的面积为 .
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【题目】如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成4个小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形.
(1)图2中阴影部分的面积请用两种方法表示:① ;②_________.
(2)观察图2,请你写出式子(m+n)2,(m-n)2,mn之间的等量关系: ;
(3)若x+y=-6,xy=2.75,求x-y的值.
(4)观察图3,你能得到怎样的代数恒等式?
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【题目】某公司计划购买若干台电脑,现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为元,并且多买都有一定的优惠. 各商场的优惠条件如下:
甲商场优惠条件:第一台按原价收费,其余的每台优惠;
乙商场优惠条件:每台优惠.
设公司购买台电脑,选择甲商场时, 所需费用为元,选择乙商场时,所需费用为元,请分别求出与之间的关系式.
什么情况下,两家商场的收费相同?什么情况下,到甲商场购买更优惠?什么情况下,到乙商场购买更优惠?
现在因为急需,计划从甲乙两商场一共买入台某品牌的电脑,其中从甲商场购买台电脑.已知甲商场的运费为每台元,乙商场的运费为每台元,设总运费为元,在甲商场的电脑库存只有台的情况下,怎样购买,总运费最少?最少运费是多少?
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