Question

这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放十六粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了．
（1）我们知道，国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放多少米？（用幂表示）
（2）请探究第（1）中的数的末位数字是多少？（简要写出探究过程．）
（3）你知道国王输给了阿基米德多少粒米吗？为解决这个问题，我们先来看下面的解题过程：用分数表示无限循环小数：．
解：设①．等式两边同时乘以10，得10x=②．
将②﹣①得：9x=2，
则．
∴请参照以上解法求出国王输给阿基米德的米粒数（用幂的形式表示）

Answer 1

解：（1 ）第64 个格子，应该底数是2 ，指数63 ，所以为2⁶³ ；
（2 ）∵2¹=2 ，2²=4 ，2³=8 ，2⁴=16 ，2⁵=32 …
∵63 ÷4=20 …3 ，
∴2⁶³ 的末位数字与2³ 的末位数字相同，是8 ；
（3 ）设x=1+2+2²+ …+2⁶³ ①．
等式两边同时乘以2 ，得2x=2+2²+2³+ …+2⁶⁴ ②
②- ①，得x=2⁶⁴-1 ．
答：国王输给阿基米德的米粒数为2⁶⁴-1 ．