Question

这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了．
（1）我们知道，国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放多少米？（用幂表示）
（2）请探究第（1）中的数的末位数字是多少？（简要写出探究过程）
（3）求国王输给阿基米德的米粒数．

Answer 1

分析：（1）观察发现，第n个格子里的米粒数是2为底数，n-1作为指数；
（2）通过计算可以看出，个位数是以4项为一组循环的，用63除以4，余数是几就与第几项的个位数相同．
（3）利用信息，这列数都乘以2，再相减即可求出．

解答：解：（1）第64个格子，应该底数是2，指数63，所以为2⁶³；

（2）∵2⁰=1，2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…
∴2⁶³的末位数字与2³的末位数字相同，是8．

（3）设x=1+2+2²+…+2⁶³ ①．等式两边同时乘以2，得2x=2+2²+2³+…+2⁶⁴ ②，②-①，得x=2⁶⁴-1．答：国王输给阿基米德的米粒数为2⁶⁴-1．

点评：本题考查了规律型：数字的变化．解答本题的关键是从题意中找出规律：每一格均是前一格的双倍，即a_n=2^n-1．