Question

【题目】如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．

（1）求点B，C的坐标；

（2）判断△CDB的形状并说明理由；

（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=﹣（x﹣1）2+c上，

∴0=﹣（﹣1﹣1）2+c，解得c=4。

∴抛物线解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4。

令x=0，得y=3，∴C（0，3）；

令y=0，得x=﹣1或x=3，∴B（3，0）。

（2）△CDB为直角三角形。理由如下：

由抛物线解析式，得顶点D的坐标为（1，4）。

如答图1所示，过点D作DM⊥x轴于点M，

则OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2。

过点C作CN⊥DM于点N，

则CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1。

在Rt△OBC中，由勾股定理得：；

在Rt△CND中，由勾股定理得：；

在Rt△BMD中，由勾股定理得：。

∵BC2+CD2=BD2，∴根据勾股定理的逆定理，得△CDB为直角三角形。

（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，

∵B（3，0），C（0，3），∴，解得。

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3。

∵直线QE是直线BC向右平移t个单位得到，

∴直线QE的解析式为：y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t。

设直线BD的解析式为y=mx+m，

∵B（3，0），D（1，4），∴，解得：。

∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6。

连接CQ并延长，射线CQ交BD于点G，则G（，3）。

在△COB向右平移的过程中：

①当0＜t≤时，如答图2所示：

设PQ与BC交于点K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．

设QE与BD的交点为F，

则：，解得，∴F（3﹣t，2t）。

∴S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE

=PEPQ﹣PBPK﹣BEyF

=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t2t=。②当＜t＜3时，如答图3所示，

设PQ分别与BC、BD交于点K、点J，

∵CQ=t，∴KQ=t，PK=PB=3﹣t。

直线BD解析式为y=﹣2x+6，令x=t，得y=6﹣2t。∴J（t，6﹣2t）。

∴S=S△PBJ﹣S△PBK=PBPJ﹣PBPK=（3﹣t）（6﹣2t）﹣（3﹣t）2=t2﹣3t+。

综上所述，S与t的函数关系式为：S=。

【解析】

试题（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标。

（2）分别求出△CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形。

（3）△COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：

①当0＜t≤时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；

②当＜t＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形。