【题目】如图,点E在正方形ABCD的边AB上,连接DE,过点C作CF⊥DE于F,过点A作AG∥CF交DE于点G.
(1)求证:△DCF≌△ADG.
(2)若点E是AB的中点,设∠DCF=α,求sinα的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)sinα=。
【解析】
试题分析:(1)由正方形的性质得AD=DC,∠ADC=90°,根据垂直的定义求出∠CFD=∠CFG=90°,再根据两直线平行,内错角相等求出∠AGD=∠CFG=90°,从而得到∠AGD=∠CFD,再根据同角的余角相等求∠ADG=∠DCF,然后利用“角角边”证明△DCF和△ADG全等即可。
(2)设正方形ABCD的边长为2a,表示出AE,再利用勾股定理列式求出DE,然后根据锐角的正弦等于对边比斜边求出∠ADG的正弦,即为α的正弦。
解:(1)证明:在正方形ABCD中,AD=DC,∠ADC=90°,
∵CF⊥DE,∴∠CFD=∠CFG=90°。
∵AG∥CF,∴∠AGD=∠CFG=90°。∴∠AGD=∠CFD。
又∵∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°,∠DCF+∠CDE=90°,∴∠ADG=∠DCF。
∵在△DCF和△ADG中,∠AGD=∠CFD,∠ADG=∠DCF,AD=DC,
∴△DCF≌△ADG(AAS)。
(2)设正方形ABCD的边长为2a,
∵点E是AB的中点,∴AE=×2a=a。
在Rt△ADE中,,
∴。
∵∠ADG=∠DCF=α,∴sinα=。
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【题目】哈尔滨地铁“二号线”正在进行修建,现有大量的残土需要运输.某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12台,全部车辆运输一次可以运输110吨残土.
(1)求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆?
(2)随着工程的进展,该车队需要一次运输残土不低于165吨,为了完成任务,该车队准备再新购进这两种卡车共6辆,则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆?
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【题目】如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”,图中四个直角三角形是全等的,若大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍,则的值为______________.
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【题目】郴州市正在创建“全国文明城市”,某校拟举办“创文知识”抢答赛,欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者.如果购买A种20件,B种15件,共需380元;如果购买A种15件,B种10件,共需280元.
(1)A、B两种奖品每件各多少元?
(2)现要购买A、B两种奖品共100件,总费用不超过900元,那么A种奖品最多购买多少件?
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【题目】如图,在矩形ABCD中,E是AD上一点,PQ垂直平分BE,分别交AD、BE、BC于点P、O、Q,连接BP、EQ.
(1)求证:四边形BPEQ是菱形;
(2)若AB=6,F为AB的中点,OF+OB=9,求PE的长.
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【题目】某校为了解八年级男生立定跳远测试情况,随机抽取了部分八年级男生的测试成绩进行统计,根据评分标准,将他们的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级,以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)被调查的男生中,成绩等级为不及格的男生人数有__________人,成绩等级为良好的男生人数占被调查男生人数的百分比为__________%;
(2)被调查男生的总数为__________人,条形统计图中优秀的男生人数为__________人;
(3)若该校八年级共有300名男生,根据调查结果,估计该校八年级男生立定跳远测试成绩为良好和优秀的男生人数.
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【题目】如图所示,在正方形中,边长为2的等边三角形的顶点,分别在和上.下列结论:①;②;③;④.其中结论正确的序号是( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
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【题目】如图,点P是⊙O 外一点,PA切⊙O于点A,AB是⊙O的直径,连接OP,过点B作BC∥OP交⊙O于点C,连接AC交OP于点D.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若PD=cm,AC=8cm,求图中阴影部分的面积;
(3)在(2)的条件下,若点E是 的中点,连接CE,求CE的长.
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【题目】如图所示,一个点从数轴上的原点开始,先向右移动2个单位长度,再向左移动5个单位长度,可以看到终点表示是-3,已知A、B是数轴上的点,请参照下图并思考,完成下列各题.
(1)如果点A表示的数-1,将点A向右移动4个单位长度,那么终点B表示的数是____.A、B两点间的距离是__________.
(2)如果点A表示的数2,将点A向左移动6个单位长度,再向右移动3个单位长度,那么终点B表示的数是____.A、B两点间的距离是____.
(3)如果点A表示的数m,将点A向左移动n个单位长度,再向左移动p个单位长度,那么请你猜想终点B表示的数是___.A、B两点间的距离是______.
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