Question

【题目】如图，点P是⊙O 外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)若PD=cm，AC=8cm，求图中阴影部分的面积；

(3)在(2)的条件下，若点E是 的中点，连接CE，求CE的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析； （2） ；（3） CE的长为cm

【解析】分析：（1）连接OC，证明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，证明结论；（2）证明△ADP∽△ODA，得到成比例线段求出BC的长，根据S阴=SO-S△ABC求出答案；（3）连接AE、BE，作BM⊥CE于M，分别求出CM和EM的长，求和得到答案．

详解：证明： ⑴如图，连接OC，∵PA切⊙O于A．

∴∠PAO=90．

∵OP∥BC，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB．∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，

∴∠AOP=∠COP．

又∵OA=OC，OP=OP， ∴△PAO≌△PCO (SAS)．∴∠PAO=∠PCO=90 ，

又∵OC是⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线．

⑵解法不唯一. 解：由（1）得PA，PC都为圆的切线，

∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90 ，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，

∴∠PAD =∠AOD，

∴△ADO∽△PDA．

∴，∴，∵AC=8， PD=，

∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，

由题意知OD为△ABC的中位线，∴BC=2OD=6，AB=10．

∴S阴=S半⊙O－S△ACB=．

答：阴影部分的面积为．

（3）如图，连接AE，BE，过点B作BM⊥CE于点M．

∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90，又∵点E是的中点，

∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45，CM=MB =，BE=ABcos450 =，

∴ EM=，/span>∴CE=CM+EM= ．

答：CE的长为cm．