Question

如图，点O为正方形ABCD的对角线交点，PE⊥BC，求证：△APD∽△OEC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,正方形的性质

专题：证明题

分析：根据正方形的性质得出AD=DC，∠DOC=∠DCB=90°，∠ADP=∠CDP=∠OCE=45°，证△ADP≌△CDP，推出∠DAP=∠DCP，求出∠DAP=∠EOC，根据相似三角形的判定推出即可．

解答：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∠ADP=∠CDP=∠OCE=45°，AD=DC，
在△ADP和△CDP中，

AD=DC ∠ADP=∠CDP DP=DP

，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴∠DAP=∠DCP，
∵四边形ABCD是正方形，PE⊥BC，
∴∠PEB=∠DCB=90°，
∴PE∥DC，
∴∠DCP=∠CPE=∠DAP，
∵四边形ABCD是正方形，PE⊥BC，
∴∠DOC=∠PEC=90°，
∴P、O、E、C四点共圆，
∴∠EOC=∠CPE，
∴∠EOC=∠DAP，
∵∠ADP=∠OCE=45°，
∴△APD∽△OEC．

点评：本题考查了相似三角形的判定定理，正方形的性质，圆内接四边形的性质，平行线的性质和判定的应用，解此题的关键是推出∠EOC=∠DAP，∠ADP=∠OCE=45°，注意：①有两个角对应相等的两三角形相似．