Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAE=∠B．
（1）当AB是直径时，AE是⊙O的切线吗？说明理由；
（2）当AB不是直径时，AE是⊙O的切线这个结论还成立吗？试说明你的理由．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）因为直线DE经过圆上A点，所以欲证AE是切线，只需证明DE⊥AB，即证∠EAB=90°即可．根据直径所对的圆周角是直角代换后可证；
（2）连接AO并延长交圆于点F，连接FC，构造（1）的图形，运用相同思路可证是切线．

解答：（1）解：AE是⊙O的切线，
理由是：如图1，∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∵∠EAC=∠B，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
即∠EAB=90°，
∴AE是⊙O的切线；

（2）解：AE还是切线，理由如下：
如图2，连接AO并延长交圆于点F，连接FC，
∵∠B=∠F，∠CAE=∠B，
∴∠CAE=∠F．
根据（1）的证明可知，AE是⊙O的切线．

点评：此题考查切线的判定及圆周角定理等知识点，本题考查了学生的推理能力，题目比较典型，难度中等．