如图1.直线AC与坐标轴分别交于A.C两点．(1)OA=a.OC=b.AC=c.求证:关于x的方程(b+c)x2+2ax+c-b=0有两个相等的实数根,(2)在∠AOC的角平分线上取一点B.连接AB.BC.∠ABC=90°.且BA.BC为方程x2-2px+q2=0的两根.试确定p.q的数量关系.并证明,的条件下.若OA=OC.AC与OB交于点Q.点F为线段BC上一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．如图1，直线AC与坐标轴分别交于A，C两点．
（1）OA=a，OC=b，AC=c，求证：关于x的方程（b+c）x²+2ax+c-b=0有两个相等的实数根；
（2）在∠AOC的角平分线上取一点B，连接AB，BC，∠ABC=90°，且BA，BC为方程x²-2px+q²=0的两根，试确定p，q的数量关系，并证明；
（3）如图2，在（2）的条件下，若OA=OC，AC与OB交于点Q，点F为线段BC上一点，延长BA至E，使AE=FC，EF交AC于P，若PQ=1，求CF的长度．

分析（1）先根据勾股定理得：a²+b²=c²，再计算关于x的方程（b+c）x²+2ax+c-b=0中△的值，化简后将a²+b²=c²代入得：△=0，得出结论；
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BDA≌△BEC，得BA=BC，说明方程x²-2px+q²=0有两个相等实根，则△=0，代入计算可得p与q的关系式；
（3）作辅助线，构建直角△FGC，证明△EAO≌△FCO，得△EOF是等腰直角三角形，再证明△EAO∽△FGP，得$\frac{EA}{FG}=\frac{AO}{PG}$，所以AO=$\sqrt{2}$PG，所以PG=CQ，则CG=PQ=1，从而求出CF的长．

解答证明：（1）由图1可知：∠AOC=90°，
∵OA=a，OC=b，AC=c，
∴a²+b²=c²，
∴a²+b²-c²=0，
关于x的方程（b+c）x²+2ax+c-b=0，
△=（2a）²-4（b+c）（c-b）=4a²+4b²-4c²，
∴△=4（a²+b²-c²）=0，
∴关于x的方程（b+c）x²+2ax+c-b=0有两个相等的实数根；
（2）如图1，p²=q²，理由是：
过B作BD⊥y轴，BE⊥x轴，垂足分别为D、E，
∴∠BDO=∠BEO=90°，
∵∠AOC=90°，
∴四边形DOEB是矩形，
∴∠DBE=90°，
∴∠DBA+∠ABE=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABE=90°，
∴∠DBA=∠CBE，
∵OB平分∠AOC，
∴BD=BE，
∵∠BDO=∠BEC=90°，
∴△BDA≌△BEC，
∴BA=BC，
∵BA，BC为方程x²-2px+q²=0的两根，
∴△=（-2p）²-4×1×q²=0，
p²-q²=0，
∴p²=q²；
（3）如图2，过F作FG⊥AC于G，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
由（2）得：△ABC也是等腰直角三角形，
∴四边形AOCB为正方形，
∴∠ACB=45°，
∴△FGC是等腰直角三角形，
设FG=CG=x，则FC=$\sqrt{2}$x，AE=$\sqrt{2}$x，
∵AE=FC，∠EAO=∠OCF=90°，
∴△EAO≌△FCO，
∴EO=FO，∠OEA=∠OFC，∠EOA=∠FOC，
∵∠AOC=90°，
∴∠AOF+∠FOC=90°，
∴∠EOA+∠AOF=90°，
∴∠EOF=90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠OEF=45°，
∵∠OFC=45°+∠GFO，
∠OEA=45°+∠HEA，
∴∠GFO=∠HEA，
∵∠EAH=∠MGF=90°，
∴∠EHA=∠FMG，
∵∠EHA=∠AOE+∠OEF=∠AOE+45°，
∠FMG=∠OFE+∠FPG=∠FPG+45°，
∴∠AOE=∠FPG，
∵∠EAO=∠FGP=90°，
∴△EAO∽△FGP，
∴$\frac{EA}{FG}=\frac{AO}{PG}$，
∴$\frac{\sqrt{2}x}{x}=\frac{AO}{PG}$=$\sqrt{2}$，
∴AO=$\sqrt{2}$PG，
∵△AOQ是等腰直角三角形，
∴AO=$\sqrt{2}$OQ，
∵OQ=CQ，
∴AO=$\sqrt{2}$CQ，
∴CQ=PG，
∴PQ=CG，
∵PQ=1，
∴CG=1，
∴x=1，
∴CF=$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$．

点评本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形、矩形、正方形的性质和判定，与一元二次方程根的情况相结合，熟练掌握△与方程根的情况：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根；反过来也成立；同时利用等腰直角三角形斜边与直角边$\sqrt{2}$倍的关系，得出相似三角形对应边的比，从而判断出线段PG=CQ，使问题得以解决．

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