Question

2．观察下列各式：（x-1）（x+1）=x²-1
            （x-1）（x²+x+1）=x³-1
            （x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
            （x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1
（1）根据前面各式的规律可得：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1．（其中n为正整数）
（2）根据（1）求1+2+2²+2³+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴的值．

Answer 1

分析 （1）根据各式的规律即可用n表示出结果；
（2）根据题目信息，可得：（a-1）（aⁿ+a^n-1+a^n-2+…+a²+a+1）=aⁿ⁺¹-1，即可得出结果．

解答 解：（1）根据各式的规律可得：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x²+x+1）=xⁿ⁺¹-1；
故答案为：xⁿ⁺¹-1
（2）根据各式的规律得：1+2+2²+2³+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴=（2-1）（2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+…+2³+2²+2+1）=2²⁰¹⁵-1．

点评 此题考查了平方差公式的应用，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．