如图.AC.BD是⊙O的两条互相垂直的直径.G是CA延长线上的一点.连接DG.过点G作FG⊥CD.交BA延长线于点E.交CB延长线于点F．(1)如图1.设GD交⊙O于点H.连接BC.求证:∠BGD=2∠HBD,(2)如图2.求证:△DGE是等腰直角三角形,(3)设圆O的半径为$\sqrt{2}$.DF与BE交于点I.tan∠DFC=$\frac{1}{3}$.求EI� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．如图，AC、BD是⊙O的两条互相垂直的直径，G是CA延长线上的一点，连接DG，过点G作FG⊥CD，交BA延长线于点E，交CB延长线于点F．
（1）如图1，设GD交⊙O于点H，连接BC，求证：∠BGD=2∠HBD；
（2）如图2，求证：△DGE是等腰直角三角形；
（3）设圆O的半径为$\sqrt{2}$，DF与BE交于点I，tan∠DFC=$\frac{1}{3}$，求EI的长．

分析（1）根据AC⊥BD，OB=OD得到∠GOD=90°，GD=GB，从而得到∠BGD=2∠DGO，然后求得∠DGO=∠HBD即可得到BGD=2∠HBD；
（2）过点G作GG₁⊥BC，垂足为G₁，过点G作GG₂⊥DC，垂足为G₂，得到四边形GG₁BP为矩形，四边形GG₁CG₂是正方形、四边形PADG₂为正方形，从而证得△FGG₁≌△DGG₂，利用全等三角形的性质得到GE=GD即可得到△DGE是等腰直角三角形；
（3）由（1）可知四边形ABCD是正方形求得FD=2$\sqrt{10}$，由（2）知DG是EF的垂直平分线得到DI=$\frac{2}{3}$$\sqrt{10}$，然后根据IE²=DE²+ID²=（2$\sqrt{10}$）²+（$\frac{2}{3}$$\sqrt{10}$）²=$\frac{400}{9}$求得EI=$\frac{20}{3}$；

解答（1）证明：∵AC⊥BD，OB=OD，
∴∠GOD=90°，GD=GB，
∴∠BGO=∠DGO，
∴∠BGD=2∠DGO，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BHD=90°，
∴∠DGO+∠ODG=90°，∠HBD+∠ODG=90°，
∴∠DGO=∠HBD，
∴∠BGD=2∠HBD；

（2）过点G作GG₁⊥BC，垂足为G₁，过点G作GG₂⊥DC，垂足为G₂，则GG₁=GG₂，
∵AC、BD是⊙O的两条互相垂直的直径，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°，GG₁⊥CF，CA是∠BCD的平分线，
∴△AGP为等腰直角三角形，∠PBF=∠ADG₂=90°，
∴AP=GP，四边形GG₁BP为矩形，四边形GG₁CG₂是正方形，
∴GP=G₁B，
同理：四边形PADG₂为正方形，AP=DG₂，
∵∠GG₁F=90°，∠ABF=90°，
∴GG₁∥BE，
∴∠FGG₁=∠GEP，

∴∠G₂GD=∠FGG₁
∴可证△FGG₁≌△DGG₂，
∴FG₁=DG₂，
∴FG₁=BG₁，
∴$\frac{FG}{GE}=\frac{F{G}_{1}}{{G}_{1}B}$=1，
∴FG=GE，
∴GE=GD，
∴△DGE是等腰直角三角形；

（3）由（1）可知四边形ABCD是正方形，
∴AC=2OC=2$\sqrt{2}$，
∴AD²+DC²=AC²，
∴AD=DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{2}$=2，
∵tan∠DFC=$\frac{DC}{FC}$=$\frac{1}{3}$，
∴FC=6，
∴FD²=DC²+CF²，
∴FD=2$\sqrt{10}$，
由（2）知DG是EF的垂直平分线，
∴DF=DE=2$\sqrt{5}$，
∴∠DFC=∠FED=45°，
∴∠FDE=180°-45°-45°=90°，
∴∠IED+∠EID=90°，
又∵∠BFI+∠BIF=90°，
∴tan∠IED=tan∠DFC=$\frac{1}{3}$=$\frac{DI}{ED}$，
∴DI=$\frac{2}{3}$$\sqrt{10}$，
∴IE²=DE²+ID²=（2$\sqrt{10}$）²+（$\frac{2}{3}$$\sqrt{10}$）²=$\frac{400}{9}$，
∴EI=$\frac{20}{3}$；

点评本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定以及三角函数；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明正方形和运用三角函数才能求出结果．

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