Question

【题目】如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝EC.其中正确结论的序号是____________．

Answer 1

【答案】①②④⑤

【解析】连接PC，

（1）∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，∠C=90°可得四边形PECF是矩形，

∴CP=EF，

∵正方形ABCD关于BD对称，点P在BD上，

∴AP=CP，

∴AP=EF，故①正确；

（2）延长AP交EF于点H，过点P作PM⊥AB于点M，则由已知易得PM=PE，∠PMA=∠EPF=90°，结合AP=EF，可得△APM≌△FEP，

∴∠EFP=∠PAM，

∵∠PAM+∠APM=90°，∠APM=∠FPH，

∴∠FPH+∠EFP=90°，

∴∠PHF=90°，

∴AP⊥EF，即②正确；

（3）∵当点P在BD上不同的位置时，△APD的形状不一样，

∴△APD不一定是等腰三角形，故③错误；

（4）由（2）可知△APM≌△FEP,

∴∠BAP=∠PFE，故④正确；

（5）如图，由已知易得∠BDF=45°，∠DFP=90°，

∴PD=PF，

又∵PF=CE，

∴PD=CE，故⑤正确.

综上所述，上述5个结论中，正确的是①②④⑤.