Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；
（3）①在x轴上方的抛物线上，是否存在一点P，使四边形OBEP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②在抛物线的对称轴上，是否存在上点Q，使得△BEQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵OA=2，
∴点A的坐标为（-2，0）．
∵OC=3，
∴点C的坐标为（0，3）．
∵把（-2，0），（0，3）代入y=-x²+bx+c，得解得
∴抛物线解析式为y=-x²+x+3；

（2）把y=0代入y=-x²+x+3，
解得x₁=-2，x₂=3
∴点B的坐标为（3，0），
∴OB=OC=3
∵OD⊥BC，
∴OD平分∠BOC
∴OE所在的直线为y=x
解方程组得，，
∵点E在第一象限内，
∴点E的坐标为（2，2）．

（3）①存在，如图1，过点E作x轴的平行线与抛物线交于另一点P，连接BE、PO，
把y=2代入y=-x²+x+3，
解得x₁=-1，x₂=2
∴点P的坐标为（-1，2），
∵PE∥OB，且PE=OB=3，
∴四边形OBEP是平行四边形，
∴在x轴上方的抛物线上，存在一点P（-1，2），使得四边形OBEP是平行四边形；

②存在，如图2，设Q是抛物线对称轴上的一点，连接QA、QB、QE、BE，
∵QA=QB，
∴△BEQ的周长等于BE+QA+QE，
又∵BE的长是定值
∴A、Q、E在同一直线上时，△BEQ的周长最小，
由A（-2，0）、E（2，2）可得直线AE的解析式为y=x+1，
∵抛物线的对称轴是x=
∴点Q的坐标为（，）
∴在抛物线的对称轴上，存在点Q（，），使得△BEQ的周长最小．
分析：（1）先根据已知条件得出A点及C点坐标，利用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；
（2）y=0代入（1）中所求二次函数的解析式即可的出此函数与x轴的交点坐标，由OD平分∠BOC可知OE所在的直线为y=x，再解此直线与抛物线组成的方程组即可求出E点坐标；
（3）①过点E作x轴的平行线与抛物线交于另一点P，连接BE、PO，把y=2代入二次函数解析式即可求出P点坐标，进而可得出四边形OBEP是平行四边形；
②设Q是抛物线对称轴上的一点，连接QA、QB、QE、BE，由QA=QB可知△BEQ的周长等于BE+QA+QE，由A、E两点的坐标可得出直线AE的解析式，再根据抛物线的对称轴是x=可求出Q点的坐标，进而可得出结论．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，平行四边形的判定定理，难度较大．