Question

如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG，EF交AD交于点H．
（1）求证：DH=FH．
（2）求DH的长．

Answer 1

（1）证明：连接HC．
∵正方形EFCG是由正方形ABCD绕点C旋转后得到的，
∴CD=CF，∠D=∠F=Rt∠．
在Rt△CDH和Rt△CFH中，
，
∴Rt△CDH≌Rt△CFH（HL），
∴DH=FH；

（2）解：∵正方形EFCG是由正方形ABCD绕点C旋转30°后得到的，
∴∠1=30°，∠BCD=∠1+∠2+∠3=90°．
由（1）得Rt△CDH≌Rt△CFH．
∴∠2=∠3=（90°-∠1）=30°
∵在Rt△CDH中，∠3=30°，
∴DH=HC，即HC=2DH．
由勾股定理得，HC²=DH²+CD²，
∵CD=3，
∴（2DH）²=DH²+3²，
解得，DH=．
分析：（1）连接CH．根据全等三角形的判定定理HL证得Rt△CDH≌Rt△CFH；然后由全等三角形的对应边相等证得结论；
（2）根据旋转的性质、全等三角形（Rt△CDH≌Rt△CFH）的对应角相等推知∠1=∠2=∠3=30°，所以在Rt△CDH中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得HC=2DH；最后在Rt△CDH中根据勾股定理来求DH的值．
点评：本题综合考查了旋转的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等．在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，是解决问题的关键．