Question

【题目】如图（1）在△ABC中，∠C=90°，AB=25cm，BC=15cm，若动点P从点C开始沿着C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒5cm，设点P运动的时间为t秒．

（1）点P运动2秒后，求△ABP的面积；

（2）如图（2），当t为何值时，BP平分∠ABC；

（3）当△BCP为等腰三角形时，直接写出所有满足条件t的值．

Answer 1

【答案】（1）50（2）10.5（3）5.5、6、6.6、9

【解析】

（1）根据勾股定理求得AC=20，根据运动的速度和时间求得CP=10，BP=5，即可得到△ABP的面积；

（2）过点P作PD⊥AB于点D，判定Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），得到BD=BC=15，AD=10，再设PC=x，则PD=x，AP=20﹣x．在Rt△APD中，根据勾股定理得到PD2+AD2=AP2，即x2+102=（20﹣x）2，解方程即可得到结论；

（3）分三种情况讨论：①作CB的垂直平分线交AB于P，连接CP，则CP=BP；②以B为圆心，CB为半径作弧交AB于点P，则CB=PB=15；③以C为圆心，CB为半径作弧交AB于P1，交AC于点P2，过C作CD⊥AB于D，则CP1=CB，CP2=CB=15，分别求解即可．

（1）如图1．

∵∠C=90°，AB=25，BC=15，∴AC==20．

∵CP=5×2=10，BP=BC－PC=15-10=5，∴△ABP的面积=×PB×AC=×5×20=50（cm2）．

（2）如图（3），过点P作PD⊥AB于点D．

∵BP平分∠ABC，∴PD=PC．在Rt△BPD和Rt△BPC中，∵，∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD=BC=15，∴AD=25﹣15=10，设PC=x，则PD=x，AP=20﹣x．在Rt△APD中，PD2+AD2=AP2，即x2+102=（20﹣x）2，解得：x=7.5，∴t=（CB+BA+AC-PC）÷5=（15+25+20-7.5）÷5=10.5．

故t=10.5秒时，BP平分∠ABC．

（3）分三种情况讨论：①如图（4），作CB的垂直平分线交AB于P，连接CP，则CP=BP．

∵AC⊥BC，PD⊥BC，∴AC∥PD．

∵CD=DB，∴AP=PB=AB=12.5，∴t=(CB+BP)÷5=（15+12.5）÷5=5.5；

②如图（5），以B为圆心，CB为半径作弧交AB于点P，则CB=PB=15，∴t=(CB+BP)÷5=（15+15）÷5=6；

③如图（6），以C为圆心，CB为半径作弧交AB于P1，交AC于点P2，过C作CD⊥AB于D，则CP1=CB，CP2=CB，CD===12．

∵CP1=CB，CD⊥AB，∴BD=DP1==9，∴BP1=2BD=18，∴t=(15+18)÷5=6.6；

∵CP2=CB=15，∴t=(CB+BA+AC-CP2)÷5=（15+25+20-15）÷5=9．

综上所述：当△BCP为等腰三角形时，t的值为：5.5，6，6.6，9．