【题目】如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=900,∠B=∠E=300.
(1)操作发现如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转。当点D恰好落在BC边上时,填空:线段DE与AC的位置关系是 ;
② 设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2。则S1与S2的数量关系是 。
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC,CE边上的高,请你证明小明的猜想。
(3)拓展探究
已知∠ABC=600,点D是其角平分线上一点,BD=CD=4,OE∥AB交BC于点E(如图4),若在射线BA上存在点F,使S△DCF =S△BDC,请直接写出相应的BF的长
【答案】解:(1)①DE∥AC。②。
(2)仍然成立,证明如下:
∵∠DCE=∠ACB=900,∴∠DCM+∠ACE=1800。
又∵∠ACN+∠ACE=1800,∴∠ACN =∠DCM 。
又∵∠CAN=CMD==900,AC=CD,∴△ANC≌△DMC(AAS)。∴AN=DM。
又∵CE=CB,∴。
(3) 或。
【解析】(1)①由旋转可知:AC=DC,
∵∠C=900,∠B=∠DCE=300,∴∠DAC=∠CDE=600。∴△ADC是等边三角形。
∴∠DCA=600。∴∠DCA=∠CDE=600。∴DE∥AC。
②过D作DN⊥AC交AC于点N,过E作EM⊥AC交AC延长线于M,过C作CF⊥AB交AB于点F。
由①可知:△ADC是等边三角形, DE∥AC,∴DN=CF,DN=EM。
∴CF=EM。
∵∠C=900,∠B =300,∴AB=2AC。
又∵AD=AC,∴BD=AC。
∵,∴。
(2)通过AAS证明△ANC≌△DMC,即可得AN=DM,从而由CE=CB得到。
(3)如图所示,作DF1∥BC交BA于点F1,作DF2⊥BD交BA于点F2。F1,F2即为所求。
按照(1)(2)求解的方法可以计算出,。
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【题目】如图,△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,点D是BC上一动点,连接AD,过点A作AE⊥AD,并且始终保持AE=AD,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)若AF平分∠DAE交BC于F,探究线段BD,DF,FC之间的数量关系,并证明;
(3)在(2)的条件下,若BD=6,CF=8,求AD的长.
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【题目】如图,四边形ABCD为正方形,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(0,﹣2),反比例函数y= 的图象经过点C,一次函数y=ax+b的图象经过A、C两点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)求反比例函数与一次函数的另一个交点M的坐标;
(3)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
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【题目】如图,某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行,在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上,航行1小时到达B处,此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上,若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置,求此时渔船到灯塔的距离(结果精确到1海里,参考数据: ≈1.732)
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在抛物线上,且S△AOP=4SBOC , 求点P的坐标;
(3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值.
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【题目】甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中,统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示,则符合这一结果的实验可能是( )
A.掷一枚正六面体的骰子,出现1点的概率
B.从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球,取到红球的概率
C.抛一枚硬币,出现正面的概率
D.任意写一个整数,它能被2整除的概率
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【题目】如图(1)在△ABC中,∠C=90°,AB=25cm,BC=15cm,若动点P从点C开始沿着C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒5cm,设点P运动的时间为t秒.
(1)点P运动2秒后,求△ABP的面积;
(2)如图(2),当t为何值时,BP平分∠ABC;
(3)当△BCP为等腰三角形时,直接写出所有满足条件t的值.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,AC交⊙O于E点,BC交⊙O于D点,CD=BD,∠C=70°.现给出以下四种结论:①∠A=45°;②AC=AB;③AE=BE;④CEAB=2BD2 . 其中正确结论的序号是( )
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
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【题目】如图,直线y1=﹣ x+2与x轴,y轴分别交于B,C,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A,B,C,点A坐标为(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点D,连接CD,点P是直线BC上方抛物线上的一动点(不与B,C重合),当点P运动到何处时,四边形PCDB的面积最大?求出此时四边形PCDB面积的最大值和点P坐标;
(3)在抛物线上的对称轴上是否存在一点Q,使△QCD是以CD为腰的等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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