Question

【题目】如图，直线y1=﹣ x+2与x轴，y轴分别交于B，C，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A，B，C，点A坐标为（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD，点P是直线BC上方抛物线上的一动点（不与B，C重合），当点P运动到何处时，四边形PCDB的面积最大？求出此时四边形PCDB面积的最大值和点P坐标；
（3）在抛物线上的对称轴上是否存在一点Q，使△QCD是以CD为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=0，可得y=2，

令y=0，可得x=4，

即点B（4，0），C（0，2）；

设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，

将点A、B、C的坐标代入解析式得，

，

解得： ，

即该二次函数的关系式为y=﹣ x2+ x+2；

（2）

解：如图1，过点P作PN⊥x轴于点N，交BC于点M，过点C作CE⊥PN于E，

设M（a，﹣ a+2），P（a，﹣ a2+ a+2），

∴PM=﹣ a2+ a+2﹣（﹣ a+2）=﹣ a2+2a（0≤x≤4）．

∵y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴点D的坐标为：（ ，0），

∵S四边形PCDB=S△BCD+S△CPM+S△PMB= BDOC+ PMCE+ PMBN，

= + a（﹣ a2+2a）+ （4﹣a）（﹣ a2+2a），

=﹣a2+4a+ （0≤x≤4）．

=﹣（a﹣2）2+

∴a=2时，S四边形PCDB的面积最大= ，

∴﹣ a2+ a+2=﹣ ×22+ ×2+2=3，

∴点P坐标为：（2，3），

∴当点P运动到（2，3）时，四边形PCDB的面积最大，最大值为 ；

（3）

解：如图2，∵抛物线的对称轴是x= ．

∴OD= ．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得

CD= ．

∵△CDQ是以CD为腰的等腰三角形，

∴CQ1=DQ2=DQ3=CD．

如图2所示，作CE⊥对称轴于E，

∴EQ1=ED=2，

∴DQ1=4．

∴Q1（ ，4），Q2（ ， ），Q3（ ，﹣ ）．

【解析】（1）分别令解析式y=﹣ x+2中x=0和y=0，求出点B、点C的坐标；设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式，求出a、b、c的值，进而求得解析式；（2）设出M点的坐标为（a，﹣ a+2），就可以表示出P的坐标，由四边形PCDB的面积=S△BCD+S△CPM+S△PMB求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论；（3）由（2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于Q1 ， 以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点Q2 ， Q3 ， 作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论．
【考点精析】利用二次函数的图象对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．