Question

【题目】如图，△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE=AD，连接CE.

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系,并证明；

（3）在（2）的条件下，若BD=6，CF=8，求AD的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）BD2+FC2=DF2（3）6

【解析】

（1）根据SAS，只要证明∠1=∠2即可解决问题；

（2）结论：BD2+FC2=DF2．连接FE，想办法证明∠ECF=90°，EF=DF，利用勾股定理即可解决问题；

（3）过点A作AG⊥BC于G．在Rt△ADG中，想办法求出AG、DG即可解决问题．

（1）∵AE⊥AD，∴∠DAE=∠DAC+∠2=90°．

又∵∠BAC=∠DAC+∠1=90°，∴∠1=∠2．在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE．

（2）结论：BD2+FC2=DF2．理由如下：

连接FE．

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠3=45°．

由（1）知△ABD≌△ACE，∴∠4=∠B=45°，BD=CE，∴∠ECF=∠3+∠4=90°，∴CE2+CF2=EF2，∴BD2+FC2=EF2．

∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF．在△DAF和△EAF中，∵，∴△DAF≌△EAF，∴DF=EF，∴BD2+FC2=DF2．

（3）过点A作AG⊥BC于G，由（2）知DF2=BD2+FC2=62+82=100，∴DF=10，∴BC=BD+DF+FC=6+10+8=24．

∵AB=AC，AG⊥BC，∴BG=AG=BC=12，∴DG=BG﹣BD=12﹣6=6，∴在Rt△ADG中，AD===6．