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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,点O在AB上,以点O为圆心,OB为半径的圆经过点D,交BC于点E.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若OB=10,CD=8,求BE的长.

【答案】
(1)证明:连接OD,

∵BD为∠ABC平分线,

∴∠1=∠2,

∵OB=OD,

∴∠1=∠3,

∴∠2=∠3,

∴OD∥BC,

∵∠C=90°,

∴∠ODA=90°,

则AC为圆O的切线


(2)解:过O作OG⊥BC,连接OE,

∴四边形ODCG为矩形,

∴GC=OD=OB=10,OG=CD=8,

在Rt△OBG中,利用勾股定理得:BG=6,

∵OG⊥BE,OB=OE,

∴BE=2BG=12.

解得:BE=12.


【解析】(1)连接OD,由BD为角平分线得到一对角相等,根据OB=OD,等边对等角得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,进而确定出OD与BC平行,利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直径,即可得证;(2)过O作OG垂直于BE,可得出四边形ODCG为矩形,在直角三角形OBG中,利用勾股定理求出BG的长,由垂径定理可得BE=2BG.

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