Question

2．已知?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥AD，∠ADC=45°，过点C作CE⊥BD于点E，交AB于点F，连接OF，点M为CD的中点，连接EM．
（1）若BC=6，求EM的长；
（2）求证：CF+OF=DO．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形得出AD=AC=BC=6，根据勾股定理得出DC=6$\sqrt{2}$，再利用直角三角形斜边中线性质得出EM的长；
（2）延长DA、CF交于P点，先证明△ADO≌△ACP（ASA），得出DO=CP，AO=AP，再证明△AOF≌△APF，得出PF=OF，即可得出结论．

解答 解：（1）∵AC⊥AD，∠ADC=45°，
∴△DAC是等腰直角三角形，
∴AD=AC=BC=6，
∴CD=$\sqrt{\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}}$=6$\sqrt{2}$，
∵CE⊥BD，点M为CD的中点，
∴EM=$\frac{1}{2}$CD=3$\sqrt{2}$；
（2）延长DA、CF交于P点，如图所示：
∵CE⊥BD，
∴∠DEP=90°，
∴∠P+∠ADE=90°，
∵∠DAC=90°，
∴∠PAC=90°，
∴∠P+∠ACP=90°，
∴∠ADO=∠ACP，=90°，
在△ADO和△ACP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAO=∠PAC}&{\;}\\{AD=AC}&{\;}\\{∠ADO=∠ACP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△ACP（ASA），
∴DO=CP，AO=AP，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠PAF=∠ADC=45°，
∴∠OAF=90°-45°=45°，
在△AOF和△APF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AP}&{\;}\\{∠OAF=∠PAF}&{\;}\\{AF=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△APF（SAS），
∴PF=OF，
∴OF+CF=PF+CF=PC=DO，
∴OF+CF=DO．

点评 本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．