Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P，Q，M，N分别从点A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，四个点的运动均停止．已知在相同时间内，若BQ＝x cm(x≠0)，则AP＝2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2 cm.

(1)当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边能构成一个三角形？

(2)当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

【答案】（1）－1；（2）当x＝2或4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】

（1）以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．

（2）以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程，解方程即可．

（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．

①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1=﹣1，x2=﹣﹣1（舍去）．

因为BQ+CM=x+3x=4（﹣1）＜20，此时点Q与点M不重合．

所以x=﹣1符合题意．

②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．

此时DN=x2=25＞20，不符合题意．

故点Q与点M不能重合．

所以所求x的值为﹣1．

（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，

①当点P在点N的左侧时，

由20﹣（x+3x）=20﹣（2x+x2），

解得：x1=0（舍去），x2=2．

当x=2时四边形PQMN是平行四边形．

②当点P在点N的右侧时，

由20﹣（x+3x）=（2x+x2）﹣20，

解得：x1=﹣10（舍去），x2=4．

当x=4时四边形NQMP是平行四边形．

所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．