Question

【题目】如图1所示的遮阳伞,伞柄垂直于水平地面,其示意图如图2所示,当伞收紧时P与A重合,当伞慢慢撑开时,动点P由A向B移动,当点P到达B时,伞张得最开,此时最大张角∠ECF=150°,已知伞在撑开的过程中,总有PM=PN=CM=CN=6.0分米CE=CF=18.0分米.

(1)求AP长的取值范围;

(2)当∠CPN=60°,求AP的值;

(3)在阳光垂直照射下,伞张得最开时,求伞下的阴影(假定为圆面)面积S.(结果保留 )(参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)

Answer 1

【答案】（1）AP的取值范围为0≤AP≤8.88分米；（2）AP=6分米；（3）伞下阴影面积为平方分米

【解析】试题分析：

（1）如下图，当点P与点B重合时，AP最长，此时∠MCN=150°，连接MN交BC于点O，由题意易得四边形CMPN是菱形，利用菱形对角线互相垂直平分可得∠COM=75°，结合CM=6.0分米，可解得CO=1.56分米，从而可得BC=3.12分米，再结合AC=12分米可得AB=8.88分米，由此即可得到；

（2）当∠CPN=60°时，结合PN=CN=6，可知△CPN此时是等边三角形，故CP=6，结合AC=12可得此时AP=6分米；

（3）如下图，由题意可知，此时点P与B重合，连接EF交AC于点D，由（1）可知MO=MC·sin∠MCO=5.82(分米)，从而可得：MN=11.64(分米)，再证△CMN∽△CEF即可结合已知求得EF的长，从而即可求出所求面积了.

试题解析：

(1)当点P与B重合时,AP最长,

此时∠MCN=1500

如图所示，连接MN交CB于点O，

∵PM=PN=CM=CN=6.0分米,

∴四边形CMPN是菱形，

∴CB⊥MN,即∠COM=90°,∠MCO=∠MCN=75°，

在Rt△MCO中,∠MCO=75°,CM=6.0分米,

∴CO=CM·cos∠MCO=6.0×0.26=1.56(分米)，

∴BC=2C0=3.12(分米)，

∵AC=MC+MP=12(分米),

∴AP=12-3.12=8.88(分米)，

∴AP的取值范围为0≤AP≤8.88分米，

(2)当∠CPN=60°时,CP=CM=6分米,

∴AP=6分米；

(3)伞张开最大时,点P与B重合,如图所示,连接EF交AC于D，

由(1)可得MO=MC·sin∠MCO=6.0×0.97=5.82(分米)，

MN=2MO=11.64(分米)，

在△CMN和△CEF中,∠MCN=∠ECF,CM=CN,CE=CF，

∴△CMN∽△CEF，

，

得EF=34.92分米，

∴伞下阴影面积 (平方分米).