Question

【题目】如图，若b是正数．直线l：y＝b与y轴交于点A，直线a：y＝x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y＝﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．

(1)若AB＝6，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；

(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；

(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；

(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．

Answer 1

【答案】（1）L的对称轴x＝1.5，L的对称轴与a的交点为(1.5，﹣1.5 )；（2）1；（3）；（4）b＝2019时“美点”的个数为4040个，b＝2019.5时“美点”的个数为1010个．

【解析】

(1)当x＝0时，y＝x﹣b＝﹣b，所以B (0，﹣b)，而AB＝6，而A(0，b)，则b﹣(﹣b)＝6，b＝3．所以L：y＝﹣x2+3x，对称轴x＝1.5，当x＝1.5吋，y＝x﹣3＝﹣1.5，于是得到结论．

(2)由y＝﹣(x﹣)2+，得到L的顶点C(，)，由于点C在l下方，于是得到结论；

(3)由題意得到y3＝，即y1+y2＝2y3，得b+x0﹣b＝2(﹣x02+bx0)解得x0＝0或x0＝b﹣．但x0≠0，取x0＝b﹣，得到右交点D(b，0)．于是得到结论；

(4)①当b＝2019时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019x直线解析式a：y＝x﹣2019，美点”总计4040个点，②当b＝2019.5时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y＝x﹣2019.5，“美点”共有1010个．

解：(1)当x＝0时，y＝x﹣b＝﹣b，

∴B (0，﹣b)，

∵AB＝6，而A(0，b)，

∴b﹣(﹣b)＝6，

∴b＝3．

∴L：y＝﹣x2+3x，

∴L的对称轴x＝1.5，

当x＝1.5吋，y＝x﹣3＝﹣1.5，

∴L的对称轴与a的交点为(1.5，﹣1.5 )；

(2)y＝﹣(x﹣)2+

∴L的顶点C(img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/11/27/16/06e66ec6/SYS202011271613427160598622_DA/SYS202011271613427160598622_DA.002.png" width="16" height="41" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，)，

∵点C在l下方，

∴C与l的距离b﹣＝﹣ (b﹣2)2+1≤1，

∴点C与1距离的最大值为1；

(3)由题意得y3＝，即y1+y2＝2y3，

得b+x0﹣b＝2(﹣x02+bx0)

解得x0＝0或x0＝b﹣．但x0≠0，取x0＝b﹣，

对于L，当y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x(x﹣b)，

解得x1＝0，x2＝b，

∵b＞0，

∴右交点D(b，0)．

∴点(x0，0)与点D间的距离b﹣(b﹣)＝；

(4)①当b＝2019时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019x，

直线解析式a：y＝x﹣2019

联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019，

∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间(包括﹣1和﹣2019)共有2021个整数；

∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，

∴线段和抛物线上各有2021个整数点，

∴总计4042个点，

∵这两段图象交点有2个点重复，

∴美点”的个数：4042﹣2＝4040(个)；

②当b＝2019.5时，

抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，

直线解析式a：y＝x﹣2019.5，

联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5，

∴当x取整数时，在一次函数y＝x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，

在二次函数y＝x2+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，

可知﹣1到2019.5之 间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．

故b＝2019时“美点”的个数为4040个，b＝2019.5时“美点”的个数为1010个．