Question

（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为E，试探究线段BE和CD之间的数量关系，并写出你的理由．
（2）如图2，把条件改为：“在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，∠EDB=

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∠C，BE⊥ED，DE与AB相交于F点，则线段BE和FD之间的数量关系如何？并证明你的结论．”

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；证明△ADC≌△AFB，得到DC=BF；证明EF=BE，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；△HFD≌△HGB，得到DF=BG；证明△EGD≌△EBD，得到BE=GE，即可解决问题．

解答：解：CD=2BE；理由如下：如图1，∵∠BAC=90°，
∠E=90°，
∴∠FED+∠FAD=180°，
∴A、F、E、D四点共圆，
∴∠ADC=∠F；在△ADC与△AFB中，

∠DAC=∠FAB ∠ADC=∠F AC=AB

，
∴△ADC≌△AFB（AAS），
∴DC=BF；
在△EFC与△EBC中，

∠FEC=∠BEC EC=EC ∠FCE=∠BCE

，
∴△EFC≌△EBC（ASA），
∴EF=BE，
∴CD=2BE．
（2）DF=2BE．理由如下：
如图，作DG∥AC，交BE的延长线于点G；
则∠BDG=∠C；
∵∠EDB=

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∠C，
∴DE平分∠BDG；
∵DG∥AC，
∴∠BHD=∠A=90°，
而∠HBD=45°，故∠HDB=45°，
∴BH=DH；
∵∠GEF+∠GHF=180°，
∴G、E、F、H四点共圆，
∴∠HFD=∠G；在△HFD与△HGB中，

∠FHD=∠GHB ∠HFD=∠G DH=BH

，
∴△HFD≌△HGB（AAS），
∴DF=BG；
在△EGD与△EBD中，

∠GED=∠BED DE=DE ∠GDE=∠BDE

，
∴△EGD≌△EBD（ASA），
∴EG=BE，
∴DF=2BE

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．