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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形为平行四边形,为坐标原点,,将平行四边形绕点逆时针旋转得到平行四边形,点的延长线上,点落在轴正半轴上.

(1)证明:是等边三角形:

(2)平行四边形绕点逆时针旋转的对应线段为,的对应点为

①直线轴交于点,为等腰三角形,求点的坐标:

②对角线在旋转过程中设点坐标为,当点轴的距离大于或等于时,求的范围.

【答案】1)见解析(2)①P0, )或(0, -4)②-8≤m≤-≤m≤12

【解析】

(1)根据A点坐标求出∠AOF=60°,再根据旋转的特点得到AO=AF,故可求解;

2)①设P0,a)根据等腰三角形的性质分AP=OPAO=OP,分别求出P点坐标即可;

②分旋转过程中在第三象限时轴的距离等于与旋转到第四象限时轴的距离等于,再求出当旋转180°时的坐标,即可得到m的取值.

1)如图,过A点作AHx轴,

OH=2,AH=2

AO=

AO=2OH

OAH=30°

∴∠AOF=90°-OAH=60°

∵旋转

AO=AF

∴△AOF是等边三角形;

2)①设P0,a

是等腰三角形

AP=OP时,(2-02+2-a2=a2

解得a=

P0,

AO=OP时,OP= AO=4

P0, -4

为等腰三角形时,求点的坐标是(0, )或(0, -4);

②旋转过程中点的对应点为

开始旋转,至轴的距离等于时,m的取值为-8≤m≤-

旋转到第四象限,到轴的距离等于时,m=

旋转180°时,设C’的坐标为(x,y)

C关于A点对称,

解得

12

m的取值为≤m≤12

综上,当点轴的距离大于或等于时,求的范围是-8≤m≤-≤m≤12

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【题目】航模兴趣小组的老师想知道全组学生的年龄情况,于是让大家把自己的年龄写在纸上,下表是全组40名学生的年龄(单位:岁).

14

13

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14

14

13

(1)在这个统计表中,13岁的频数是多少?频率是多少?

(2)多少岁的频率最大,这个最大频率是多少?

(3)假如老师随机地问一名学生的年龄,你认为老师最可能听到的回答是多少岁?

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(1)t=2时,线段PQ的中点坐标为_____

(2)当△CBQ与△PAQ相似时,求t的值;

(3)t=1时,抛物线y=x2+bx+c经过P,Q两点,与y轴交于点M,抛物线的顶点为K,如图2所示,问该抛物线上是否存在点D,使∠MQD=MKQ?若存在,求出所有满足条件的D的坐标;若不存在,说明理由.

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操作方法:先从盒中摸出8个球,画上记号放回盒中,再进行摸球实验.摸球实验的要求:先搅拌均匀,每次摸出一个球,放回盒中,再继续.

统计结果如表:

摸球的次数n

100

200

300

500

800

1000

摸到有记号球的次数m

25

44

57

105

160

199

摸到有记号球的频率

0.25

0.22

0.19

0.21

0.20

0.20

(1)请你完成上表中数据,并估计摸到有记号球的概率是多少?

(2)估计盒中共有球多少个?没有记号球有多少个?

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(1)求跨海大桥到宁波港的路程.

(2)若货物运输费用=A地经杭州湾包括运输成本和时间成本,已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元,时间成本是每时28元,那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元?

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