【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形为平行四边形,为坐标原点,,将平行四边形绕点逆时针旋转得到平行四边形,点在的延长线上,点落在轴正半轴上.
(1)证明:是等边三角形:
(2)平行四边形绕点逆时针旋转度.的对应线段为,点的对应点为
①直线与轴交于点,若为等腰三角形,求点的坐标:
②对角线在旋转过程中设点坐标为,当点到轴的距离大于或等于时,求的范围.
【答案】(1)见解析(2)①P(0, )或(0, -4)②-8≤m≤-或≤m≤12
【解析】
(1)根据A点坐标求出∠AOF=60°,再根据旋转的特点得到AO=AF,故可求解;
(2)①设P(0,a)根据等腰三角形的性质分AP=OP和AO=OP,分别求出P点坐标即可;
②分旋转过程中在第三象限时到轴的距离等于与旋转到第四象限时到轴的距离等于,再求出当旋转180°时的坐标,即可得到m的取值.
(1)如图,过A点作AH⊥x轴,
∵
∴OH=2,AH=2
∴AO=
故AO=2OH
∴∠OAH=30°
∴∠AOF=90°-∠OAH=60°
∵旋转
∴AO=AF
∴△AOF是等边三角形;
(2)①设P(0,a)
∵是等腰三角形
当AP=OP时,(2-0)2+(2-a)2=a2
解得a=
∴P(0, )
当AO=OP时,OP= AO=4
∴P(0, -4)
故为等腰三角形时,求点的坐标是(0, )或(0, -4);
②旋转过程中点的对应点为,
当开始旋转,至到轴的距离等于时,m的取值为-8≤m≤-;
当旋转到第四象限,到轴的距离等于时,m=
当旋转180°时,设C’的坐标为(x,y)
∵C、关于A点对称,
∴
解得
∴(12,)
∴m的取值为≤m≤12,
综上,当点到轴的距离大于或等于时,求的范围是-8≤m≤-或≤m≤12.
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【题目】(本小题满分10分)
如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆⊙O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC.
(1)求证:直线DM是⊙O的切线;
(2)求证:DE2=DF·DA.
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【题目】如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动.若以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似,则运动的时间t为________秒.
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【题目】航模兴趣小组的老师想知道全组学生的年龄情况,于是让大家把自己的年龄写在纸上,下表是全组40名学生的年龄(单位:岁).
14 | 13 | 13 | 15 | 16 | 12 | 14 | 16 | 17 | 13 |
14 | 15 | 12 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 15 | 14 |
13 | 12 | 15 | 14 | 17 | 16 | 16 | 13 | 12 | 14 |
14 | 15 | 13 | 16 | 15 | 16 | 17 | 14 | 14 | 13 |
(1)在这个统计表中,13岁的频数是多少?频率是多少?
(2)多少岁的频率最大,这个最大频率是多少?
(3)假如老师随机地问一名学生的年龄,你认为老师最可能听到的回答是多少岁?
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【题目】如图1,四边形OABC是矩形,点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,6),点P从点O出发,沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发,同时点Q从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,当点P与点A重合时运动停止.设运动时间为t秒.
(1)当t=2时,线段PQ的中点坐标为_____;
(2)当△CBQ与△PAQ相似时,求t的值;
(3)当t=1时,抛物线y=x2+bx+c经过P,Q两点,与y轴交于点M,抛物线的顶点为K,如图2所示,问该抛物线上是否存在点D,使∠MQD=∠MKQ?若存在,求出所有满足条件的D的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】研究问题:一个不透明的盒中装有若干个白球,怎样估算白球的数量?
操作方法:先从盒中摸出8个球,画上记号放回盒中,再进行摸球实验.摸球实验的要求:先搅拌均匀,每次摸出一个球,放回盒中,再继续.
统计结果如表:
摸球的次数n | 100 | 200 | 300 | 500 | 800 | 1000 |
摸到有记号球的次数m | 25 | 44 | 57 | 105 | 160 | 199 |
摸到有记号球的频率 | 0.25 | 0.22 | 0.19 | 0.21 | 0.20 | 0.20 |
(1)请你完成上表中数据,并估计摸到有记号球的概率是多少?
(2)估计盒中共有球多少个?没有记号球有多少个?
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【题目】如图,点M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B,且DM交AC于点F,ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形,并选择一对加以证明.
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【题目】2008年5月1日,目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了.通车后,苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米.已知运输车速度不变时,行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时.
(1)求跨海大桥到宁波港的路程.
(2)若货物运输费用=A地经杭州湾包括运输成本和时间成本,已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元,时间成本是每时28元,那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元?
(3)A地准备开辟宁波方向的外运路线,即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港,再从宁波港运到B地.若有一批货物(不超过10车)从A地按外运路线运到B地的运费需8320元,其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与(2)中相同,从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是:一车800元,当货物每增加1车时,每车的海上运费就减少20元,问这批货物有几车?
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【题目】在一个不透明的袋子中,装有除颜色外其余均相同的红、蓝两种球,已知其中红球有3个,且从中任意摸出一个是红球的概率为0.75.
(1)根据题意,袋中有 个蓝球.
(2)若第一次随机摸出一球,不放回,再随机摸出第二个球.请用画树状图或列表法求“摸到两球中至少一个球为蓝球(记为事件A)”的概率P(A).
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