Question

7．如图，点A、B是⊙O上的定点，且圆周角∠APB=120°，∠APB的角平分线交⊙O于点Q．（1）当点P在$\widehat{AB}$上运动（不与点A、B重合）时，问点Q移动吗？试说明理由．
（2）当点P在$\widehat{AB}$上运动（不与点A、B重合）时，试探讨PA、PB、PQ三者之间的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠APQ=∠BPQ，根据圆周角定理得到弧AQ=弧BQ，即Q为弧AB的中点，为定点；
（2）在PQ上截取PD=PA，连接AD并延长交⊙O于C，连接AQ，QC，BC，根据角平分线的性质和圆周角定理得出∠ACQ=∠APQ=60°，即可证得△QDC是等边三角形，得出QD=QC，∠PQC=60°，根据圆内接四边形的性质得出∠PBC=∠QCB，从而证得四边形BPQC是等腰梯形，得出PB=QC=QD，即可证得PA+PB=PQ．

解答 证明：（1）∵∠APQ=∠BPQ，
∴$\widehat{AQ}$=$\widehat{BQ}$，
∴Q为弧AB的中点，
∵点A、B是⊙O上的定点，
即点Q是定点．
（2）如图，在PQ上截取PD=PA，连接AD并延长交⊙O于C，连接AQ，QC，BC，
∵∠APB=120°，∠APB的角平分线交⊙O于点Q．
∴∠APQ=∠BPQ=60°，
∴∠ACQ=∠APQ=60°，
∵∠APQ=60°，AP=PD，
∴△APD是等边三角形，
∴∠QDC=∠QDP=60°，
∴△QDC是等边三角形，
∴QD=QC，∠PQC=60°，
∴∠PQC=∠BPQ，
∵∠PQC+∠PBC=180°，∠BPQ+∠BCQ=180°，
∴∠PBC=∠QCB，
∴四边形BPQC是等腰梯形，
∴PB=QC，
∴PB=QD，
∴PA+PB=PQ．

点评 本题考查了圆周角定理，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰梯形的判定和性质，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．