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【题目】已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1x2

1)求实数k的取值范围;

2)是否存在实数k使得成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.

【答案】12)不存在

【解析】

1)由题意可得△≥0,即[﹣(2k+1]24k2+2k≥0,通过解该不等式即可求得k的取值范围;

2)假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立.由根与系数的关系可得x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k,然后利用完全平方公式可以把x1·x2-x12-x22≥0转化为3x1·x2-x1+x22≥0的形式,通过解不等式可以求得k的值.

1原方程有两个实数根,

∴△≥0

[﹣(2k+1]24k2+2k≥0

∴4k2+4k+14k28k≥0

∴14k≥0

∴k≤

k≤时,原方程有两个实数根;

2)假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立,

∵x1x2是原方程的两根,

∴x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k

x1·x2-x12-x22≥0

3x1·x2-x1+x22≥0

∴3k2+2k)﹣(2k+12≥0

整理得:﹣(k12≥0

只有当k=1时,上式才能成立;

由(1)知k≤

不存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立.

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