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【题目】如图,图1ΔABC是等边三角形,DE是中位线,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BEEF.

1 2

(1)求证:BE=EF

(2)若将DE从中位线的位置向上平移,使点DE分别在线段ABAC(E与点A不重合),其他条件不变,如图2,则(1)题中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立.请说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2)结论仍然成立;(3)

【解析】

(1)利用等边三角形的性质以及三线合一证明得出结论;

(2)由中位线的性质、平行线的性质,等边三角形的性质以及三角形全等的判定与性质证明

(1)证明:∵ΔABC是等边三角形,

∴∠ABC=ACB=AB=BC=AC

DE是中位线,

EAC的中点,

BE平分∠ABCAE=EC

∴∠EBC=ABC=

AE=CF

CE=CF

∴∠CEF=F

∵∠CEF+F=ACB=

∴∠F=

∴∠EBC=F

BE=EF

(2)结论仍然成立.

DE是由中位线平移所得;

DE//BC

∴∠ADE=ABC=,∠AED=ACB=

ΔADE是等边三角形,

DE=AD=AE

AB=AC

BD=CE

AE=CF

DE=CF

∵∠BDE=-ADE=,∠FCE=-ACB=

∴∠FCE=EDB

ΔBDEΔECF

BE=EF

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下面是两位学生有代表性的证明思路:

思路1:不需作辅助线,直接证三角形全等;

思路2:不证三角形全等,连接BDAF于点H.…

请参考上面的思路,证明点MDE的中点(只需用一种方法证明);

2)如图2,在(1)的前提下,当∠ABE=135°时,延长ADEF交于点N,求的值;

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白纸张数x()

1

2

3

4

5

纸条总长度y(cm)

20

54

71

2)直接写出yx的关系式.

(3)要使粘合后的长方形总面积为1656cm2,则需用多少张这样的白纸?

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