【题目】如图,抛物线交
轴正半轴于点
将抛物线
平移得到拋物线
与
交于点
,直线
交
于点
,点
的横坐标为
,且
.
直接写出点
,点
的坐标.
求抛物线
的表达式.
点
是抛物线
上
间--点,作
轴交抛物线
于点
,连结
,设点
的横坐标为
当
为何值时,使
的面积最大,并求出最大值.
【答案】;
;
时,
有最大值,且最大值为
.
【解析】
(1)①过点B作BE⊥x轴于点E,过点C作CF⊥x轴于点F,则BE∥CF,根据平行线分线段成比例定理可得OE=EF=3,求出B(3,3)即可得C(6,6);
②把点B,C的坐标代入求出b,c即可;
(2)求出,可得
,再根据二次函数的性质求解可得.
解:(1)①如图,过点B作BE⊥x轴于点E,过点C作CF⊥x轴于点F,则BE∥CF,
∵点的横坐标为
,且
,
∴OE=EF=3,
当x=3时y=x2+4x=9+12=3,即B(3,3),
∴直线OB的解析式为:y=x,
∴C(6,6),
②把点B,C的坐标代入抛物线中,
得,解得:
,
所以抛物线的解析式为:
;
(2) 轴,点
的横坐标为
,
∴P(m,m2+4m),Q(m,),
,
,
由于是抛物线
上
段一点,易知A(4,0),
故,
而不在
的范围内,且
开口向下,在对称轴的左侧,
随着
的增大而增大,
当
时,
有最大值,最大值为
.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0)、C(0,3),与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D.
(1)求此二次函数解析式;
(2)连接DC、BC、DB,求证:△BCD是直角三角形;
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC为等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某中学为了了解在校学生对校本课程的喜爱情况,随机调查了九年级学生对A,B,C,D,E五类校本课程的喜爱情况,要求每位学生只能选择一类最喜欢的校本课程,根据调查结果绘制了如下的两个统计图.
请根据图中所提供的信息,完成下列问题:
(1)本次被调查的学生的人数为 ;
(2)补全条形统计图;
(3)扇形统计图中,C类所在扇形的圆心角的度数为 ;
(4)若该中学有4000名学生,请估计该校喜爱C,D两类校本课程的学生共有多少名.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为r(r>0).给出如下定义:若平面上一点P到圆心O的距离d,满足,则称点P为⊙O的“随心点”.
(1)当⊙O的半径r=2时,A(3,0),B(0,4),C(,2),D(
,
)中,⊙O的“随心点”是 ;
(2)若点E(4,3)是⊙O的“随心点”,求⊙O的半径r的取值范围;
(3)当⊙O的半径r=2时,直线y=- x+b(b≠0)与x轴交于点M,与y轴交于点N,若线段MN上存在⊙O的“随心点”,直接写出b的取值范围 .
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C在圆O上,BE⊥CD垂足为E,CB平分∠ABE,连接BC
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若cos∠CAB=,CE=
,求AD的长.
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【题目】如图,正方形两条对角线
、
交于
,过
任作一直线
与边
,
交于
,
,
的垂直平分线与边
,
交于
,
.设正方形
的面积为
,四边形
的面积为
.
(1)求证:四边形是正方形;
(2)若,求
的取值范围.
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【题目】“普洱茶”是云南有名的特产,某网店专门销售某种品牌的普洱茶,成本为30元/盒,每天销售(件)与销售单价
(元)之间存在一次函数关系,如图所示.
(1)求与
之间的函数关系式;
(2)如果规定每天该种普洱茶的销售量不低于240盒,该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出500元给扶贫基金会,当销售单价为多少元时,每天获取的净利润最大,最大净利润是多少?(注:净利润=总利润-捐款)
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【题目】如图,已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B.抛物线过A、B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D.
(1)如图1,设抛物线顶点为M,且M的坐标是(,
),对称轴交AB于点N.
①求抛物线的解析式;
②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;
(2)是否存在这样的点D,使得四边形BOAD的面积最大?若存在,求出此时点D的坐标;若不存在,请说明理由.
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