Question

10．点P在线段AB上，AP²=AB•PB，若PB=4，求AP的长．

Answer 1

分析 根据黄金分割的定义易得点P为AB的黄金分割点，则AP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB，所以PB=AB-AP=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$AB，依此可得PB，AP的关系，列式计算可得AP的长．

解答 解：∵点P在线段AB上，AP²=AB•PB，
∴AP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB，
∴PB=AB-AP=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$AB，
∴AP=$\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$PB=2$\sqrt{5}$+2．
故AP的长是2$\sqrt{5}$+2．

点评 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．