Question

【题目】如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高，D是AM上的点，以CD为一边，在CD的下方作等边△CDE，连结BE．

（1）填空：∠ACB=____；∠CAM=____；

（2）求证：△AOC≌△BEC；

（3）延长BE交射线AM于点F，请把图形补充完整，并求∠BFM的度数；

（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，设直线BE与直线AM的交点为F．∠BFM的大小是否发生变化？若不变，请在备用图中面出图形，井直接写出∠BFM的度数；若变化，请写出变化规律．

Answer 1

【答案】（1）60°，30°；（2）答案见解析；（3）60°；（4）∠BFM＝60°．

【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质即可进行解答；

（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；

（3）补全图形，由△ADC≌△BEC得∠CAM=∠CBE=30°,由三角形内角和定理即可求得∠BFM的度数；

（4）画出相应图形，可知当点D在线段AM的延长线上且在BC下方时，如图，可以得出△ACD≌△BCE，进而得到∠CBE=∠CAD=30°，据此得出结论．

试题解析：(1)∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°；

∴线段AM为BC边上的高，

∴∠CAM=∠BAC=30°，

故答案为：60，30°；

（3）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，

∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，

∴∠ACD=∠BCE.

在△ADC和△BEC中，

，

∴△ACD≌△BCE(SAS)；

（3）补全图形如下：

由（1）（2）得∠CAM=30°，△ADC≌△BEC，

∴∠CBE=∠CAM=30°，

∵∠BMF=90°，

∴∠BFM=60°；

（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，画出图形如下：

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，

∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴∠CBE=∠CAD=30°，

又∵∠AMC=∠BMO，

∴∠AOB=∠ACB=60°.

即动点D在射线AM上时,∠AOB为定值60°.