Question

【题目】如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，动点M以每秒2个单位的速度从点A出发，沿着A→B→C的方向运动，当点M到达点C时，运动停止．点N是点M关于点B的对称点，过点M作MQ⊥AC于点Q，以MN，MQ为边作MNPQ，设点M的运动时间为t秒．

（1）分别求当t=2和t=5时，线段MN的长；

（2）是否存在这样的t的值，使得MNPQ为菱形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）作点P关于直线MQ的对称点P'，当点P'落在△ABC内部时，请直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）8（2）当t=或时，四边形MNPQ为菱形（3）2＜t＜3或3＜t＜时，当点P'落在△ABC内部

【解析】

（1）t=2时，点M在线段AB上，求出AM即可，t=5时，点M在线段BC上，求出BM即可解决问题；

（2）分两种情形，分别利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题；

（3）分两种情形：①如图3中，当点P关于QM的对称点P′落在线段AB上时．②如图4中，当点P的对称点落在线段BC上时，分别求出t的值即可解决问题.

（1）由题意得t=2，AM=4，MB=2，

∵M、N关于点B对称，

∴BM=BN，

∴MN=2BM=4

t=5，AB+BM=10，AB=6，MB=4，

∴MN=2BM=8．

（2）情况一：当点M在边AB上时，如图1，

由△AQM∽△ABC，可得=，

∵AM=2t，AB=6，BC=8，AC=10．

∴QM=t，BM=6﹣2t，MN=12﹣4t．

QM=MN时，即t=12﹣4t，

解得t=；

情况二：当点M在边BC上时，如图2，

△CMQ∽△CAB，

∴，

∴，

∴MQ=（14﹣2t），

∵MN=MQ，

∴2（2t﹣6）=（14﹣2t），

解得：t=

综上，当t=或时，四边形MNPQ为菱形．

（3）如图3中，

当点P关于QM的对称点P′落在线段AB上时，易证四边形PQP′M是菱形，

∴PP′⊥MQ，∵MQ⊥AC，

∴PP′∥AC，∵PQ∥AP′

∴四边形AQPP′是平行四边形，

∴AP′=PQ=MP′=MN，

∴AM=2MN，

∴2t=2（6﹣2t）

∴t=2，

∴时，当点P'落在△ABC内部．

如图4，

当点P的对称点落在线段BC上时，易证四边形PQP′M是菱形，

可得P′M=P′Q=CP′=MN，

∴BM+CM=8，

∴2t﹣6+2（4t﹣12）=8，

解得t=，

∴3＜t＜时，当点P'落在△ABC内部．

综上所述，2＜t＜3或3＜t＜时，当点P'落在△ABC内部．