Question

在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx-2k+6经过定点Q．
（1）直接写出点Q的坐标

 

；
（2）点M在第一象限内，∠QOM=45°，若点M的横坐标与点Q的纵坐标相等（如图1），求直线QM的解析式；
（3）在（2）条件下，过点M作MA⊥x轴于点A，过点Q作QB⊥y轴于点B，点E为第一象限内的一动点，∠AEO=45°，点C为OB的中点（如图2），求线段CE长度的最大值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）y=kx-2k+6=k（x-2）+6，则当x-2=0，即x=2时，y的值与k无关，据此即可求得G的坐标；
（2）延长BQ，AM交于点F．连接OF，作QG⊥OF于点G，证明△OQG∽△OMA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得AE的长，则E的坐标可以求得，然后利用待定系数法即可求解；
（3）E在圆心在OA的上边，且弦OA所对的圆心角是90°的圆上，据此即可求得圆心的坐标，从而求解．

解答：解：（1）y=kx-2k+6=k（x-2）+6，
则当x-2=0，即x=2时，y的值与k无关，
则G的坐标是（2，6）；
（2）延长BQ，AM交于点F．连接OF，作QG⊥OF于点G．
则四边形AOBF是正方形，△QFG是等腰直角三角形，且OA=OB=BF=AF=6，BQ=2，
则QF=4，
∴QG=QF×

2

2

=4×

2

2

=2

2

，
在直角△OBQ中，OQ=

OB2+BQ2

=

62+22

=2

10

，
∴直角△OQG中，OG=

OQ2-QG2

=

40-8

=4

2

．
∵正方形AOBF中，∠AOB=90°，∠AOF=45°，
又∵∠QOM=45°，
∴∠QOG+∠FOM=∠FOM+∠AOM=45°，
∴∠QOG=∠AOM，
又∵∠OGQ=∠AOM
∴△OQG∽△OMA，
∴

QG

AM

=

OG

OA

，即

2 2

AM

=

4 2

8

，
∴AM=4，
∴M的坐标是（6，4）．
设直线QM的解析式是y=kx+b，
则

2k+b=6 6k+b=4

，
解得：

k=- 1 2 b=7

，
则直线的解析式是：y=-

1

2

x+7；
（3）∵∠AEO=45°，
∴E在圆心在OA的上边，且弦OA所对的圆心角是90°的圆上，设圆心是N，则N的坐标是（3，3），圆的半径是3

2

，
又∵点C为OB的中点，
∴C的坐标是（0，3），
则CN∥x轴，
则当E是CN的延长线与圆N的交点时，线段CE最长，则最大的长度是：3+3

2

．

点评：本题考查了一次函数、正方形的性质以及相似三角形的判定与性质的综合应用，正确证明△OQG∽△OMA，以及确定E的位置是关键．