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【题目】如图,抛物线轴交于点A-10),点B-3,0),且OB=OC

1)求抛物线的解析式;

2)点P在抛物线上,且∠POB=ACB,求点P的坐标;

3)抛物线上两点MN,点M的横坐标为m,点N的横坐标为m+4.D是抛物线上MN之间的动点,过点Dy轴的平行线交MN于点E.

①求DE的最大值.

②点D关于点E的对称点为F.m为何值时,四边形MDNF为矩形?

【答案】1;(2)点P坐标为;(3)①当时,最大值为4,②当时,四边形MDNF为矩形.

【解析】

1)已知抛物线与x轴两交点坐标,可设交点式y=ax+1)(x+3);由OC=OB=3C0-3),代入交点式即求得a=-1

2)由∠POB=ACB联想到构造相似三角形,因为求点P坐标一般会作x轴垂线PHRtPOH,故可过点ABC边上作垂线AG,构造ACG∽△POH.利用点ABC坐标求得AGCG的长,由相似三角形对应边成比例推出.设点P横坐标为p,则OHPH都能用p表示,但需按P横纵坐标的正负性进行分类讨论.得到用p表示OHPH并代入OH=2PH计算即求得p的值,进而求点P坐标.
3)①用m表示MN横纵坐标,把m当常数求直线MN的解析式.设D横坐标为t,把x=t代入直线MN解析式得点E纵坐标,DE纵坐标相减即得到用mt表示的DE的长,把m当常数,对未知数t进行配方,即得到当t=m+2时,DE取得最大值.
②由矩形MDNFMN=DFMNDF互相平分,所以EMN中点,得到点DE横坐标为m+2.由①得d=m+2时,DE=4,所以MN=8.用两点间距离公式用m表示MN的长,即列得方程求m的值.

解:(1)∵抛物线与x轴交于点A-10),点B-30
∴设交点式y=ax+1)(x+3
OC=OB=3,点Cy轴负半轴
C0-3
把点C代入抛物线解析式得:3a=-3
a=-1
∴抛物线解析式为y=-x+1)(x+3=-x2-4x-3

2)如图1,过点AAGBC于点G,过点PPHx轴于点H


∴∠AGB=AGC=PHO=90°
∵∠ACB=POB
∴△ACG∽△POH

OB=OC=3,∠BOC=90°
∴∠ABC=45°

∴△ABG是等腰直角三角形

OH=2PH
Pp-p2-4p-3
①当p-3-1p0时,点P在点B左侧或在AC之间,横纵坐标均为负数
OH=-pPH=--p2-4p-3=p2+4p+3
-p=2p2+4p+3

解得:

②当-3p-1p0时,点PAB之间或在点C右侧,横纵坐标异号
p=2p2+4p+3
解得:p1=-2p2=-

P-21)或

综上所述,点P的坐标为

3)①如图2

x=m+4时,y=-m+42-4m+4-3=-m2-12m-35
Mm-m2-4m-3),Nm+4-m2-12m-35
设直线MN解析式为y=kx+n

解得:

∴直线MNy=-2m-8x+m2+4m-3
Dt-t2-4t-3)(mtm+4
DEy
xE=xD=tEt,(-2m-8t+m2+4m-3
DE=-t2-4t-3-[-2m-8t+m2+4m-3]=-t2+2m+4t-m2-4m=-[t-m+2]2+4
∴当t=m+2时,DE的最大值为4

②如图3

DF关于点E对称
DE=EF
∵四边形MDNF是矩形
MN=DF,且MNDF互相平分

DE= MNEMN中点

由①得当d=m+2时,DE=4
MN=2DE=8
∴(m+4-m2+[-m2-12m-35--m2-4m-3]2=82
解得:

m的值为时,四边形MDNF为矩形.

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一次购买数量/kg

30

50

150

甲批发店花费/元

300

乙批发店花费/元

350

(Ⅱ)设在甲批发店花费元,在乙批发店花费元,分别求关于的函数解析式;

(Ⅲ)根据题意填空:

①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同,且花费相同,则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为____________kg

②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg,则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买花费少;

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