Question

8．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=6，将四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°至四边形AB′C′D′处，则旋转过程中，边BC所扫过的区域（图中阴影部分）的面积为3π．

Answer 1

分析 先根据直角三角形的性质去除AN及AB的长，再由三角形的面积公式求出△ABC的面积，由扇形的面积公式得出扇形BAB′及扇形CAC′的面积，由S_阴影=S₁+S₂即可得出结论．

解答 解：∵在四边形ABCD中，∠ABC=90°，BC=6，∠BAC=30°，
∴AC=12，AB=$\sqrt{{12}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×6$\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$，
∴S_扇形BAB′=$\frac{30}{360}$π×6（$\sqrt{3}$）²=9π，
∴S₁=18$\sqrt{3}$-9π．
∵S_△AB′C′=S_△ABC=18$\sqrt{3}$，S_扇形CAC′=$\frac{30}{360}$π×12²=12π，
∴S₂=12π-18$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S₁+S₂=18$\sqrt{3}$-9π+12π-18$\sqrt{3}$=3π．
故答案为：3π．

点评 本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．