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【题目】平面上,矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放,分别延长DAQP交于点O,且DOQ=60°OQ=OD=3OP=2OA=AB=1.让线段OD及矩形ABCD位置固定,将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转,设旋转角为α0°≤α≤60°).

发现:如图2,当点P恰好落在BC边上时,求a的值即阴影部分的面积;

拓展:如图3,当线段OQCB边交于点M,与BA边交于点N时,设BM=xx0),用含x的代数式表示BN的长,并求x的取值范围.

探究:当半圆K与矩形ABCD的边相切时,直接写出sinα的值.

【答案】发现:α=30°S阴影=+

拓展: BN=0x≤2﹣1

探究: sinα的值为:

【解析】

试题分析:首先设半圆KPC交点为R,连接RK,过点PPHAD于点H,过点RREKQ于点E,则可求得RKQ的度数,于是求得答案;

拓展:如图5,由OAN=MBN=90°ANO=BNM,得到AON∽△BMN,即可求得BN,如图4,当点Q落在BC上时,x取最大值,作QFAD于点FBQ=AF,则可求出x的取值范围;

探究:半圆K与矩形ABCD的边相切,分三种情况:半圆KBC相切于点T当半圆KAD相切于T当半圆KCD切线时,点Q与点D重合,且为切点;分别求解即可求得答案.

解:发现:如图2,设半圆KPC交点为R,连接RK,过点PPHAD于点H

过点RREKQ于点E,在RtOPH中,PH=AB=1OP=2

∴∠POH=30°

α=60°﹣30°=30°

ADBC

∴∠RPO=POH=30°

∴∠RKQ=2×30°=60°

S扇形KRQ==

RtRKE中,RE=RKsin60°=

SPRK=RE=

S阴影=+

拓展:如图5

∵∠OAN=MBN=90°ANO=BNM

∴△AON∽△BMN

,即

BN=

如图4,当点Q落在BC上时,x取最大值,作QFAD于点FBQ=AF=﹣AO=2﹣1

x的取值范围是0x≤2﹣1

探究:半圆K与矩形ABCD的边相切,分三种情况;

如图5,半圆KBC相切于点T,设直线KTADOQ的初始位置所在的直线分别交于点SO′

KSO=KTB=90°

KGOO′G,在RtOSK中,

OS==2

RtOSO′中,SO′=OStan60°=2KO′=2

RtKGO′中,O′=30°

KG=KO′=

RtOGK中,sinα===

当半圆KAD相切于T,如图6,同理可得sinα====

当半圆KCD切线时,点Q与点D重合,且为切点,

α=60°

sinα=sin60°=

综上所述sinα的值为:

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