Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）试说明：AD⊥DC；
（2）若AD=1，AC=

5

2

，求AB的长．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OC，根据CD与⊙O相切，所以OC⊥CD，再由OA=OC，得出∠2=∠3，根据AC平分∠DAB，则∠2=∠1，等量代换得出∠3=∠1，从而得出AD∥OC，所以∠ADC=∠OCE=90°，即AD⊥DC．
（2）连接BC．根据AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°，由（1）得出∠2=∠1，则△ACD∽△ABC，从而得出

AD

AC

=

AC

AB

，即AC²=AD•AB，得出AB即可．

解答：解：（1）连接OC，
∵CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD，
∴∠OCE=90°，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∵AC平分∠DAB，
∴∠2=∠1，
∴∠3=∠1，
∴AD∥OC，
∴∠ADC=∠OCE=90°，
∴AD⊥DC．

（2）连接BC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
∵∠3=∠1，
∴△ACD∽△ABC，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
∴AC²=AD•AB，
∴AB=（

5

2

）²=

5

4

．

点评：本题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角等于90度．