Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C，旋转角为ɑ（0°＜ɑ＜90°），连接BB1．设CB1交AB于点D，A1B1分别交AB、AC于点E，F．

（1）求证：△BCD≌△A1CF；

（2）若旋转角ɑ为30°，

①请你判断△BB1D的形状；

②求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①△BB1D是等腰三角形，理由见解析；②CD=﹣1．

【解析】

（1）根据已知条件，利用旋转的性质及全等三角形的判定方法，来判定三角形全等．

（2）①根据旋转的性质和等腰三角形的判定与性质得到△BB1D是等腰三角形；

②如图，过D作DG⊥BC于G，设DG=x，通过解直角三角形和已知条件BC=1列出关于x的方程，通过解方程求得x的值，然后易得CD=2x．

（1）∵AC=BC，

∴∠A=∠ABC．

∵△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A1B1C，

∴∠A1=∠A，A1C=AC，∠ACA1=∠BCB1=α．

∴∠A1=∠CBD，A1C=BC．

在△CBD与△CA1F中，

∴△BCD≌△A1CF（ASA）．

（2）①△BB1D是等腰三角形，理由如下：

∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠CAB=∠CBA=45°．

又由旋转的性质得到BC=B1C，则∠CB1B=∠CBB1，

∴∠CB1B=∠CBB1==75°．

∴∠B1BD=∠CBB1﹣∠CBA=75°﹣45°=30°，

∴∠BDB1=480°﹣75°﹣30°=75°，

∴∠BDB1=∠CB1B=∠DB1B=75°，

∴BD=BB1，

∴△BB1D是等腰三角形．

②如图，过D作DG⊥BC于G，设DG=x，

∵ɑ=30°，∠DBE=45°，

∴BG=x，CG=x，

∴x+x=1，

解得x=，

故CD=2x=﹣1．