Question

已知：关于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0（m为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1总过x轴上的一个固定点；
（3）若m是整数，且关于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1向右平移3个单位长度，求平移后的抛物线的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得：m≠0，m-1≠0，再整理即可；
（2）由（m-1）x²+（m-2）x-1=0，得出x=

-(m-2)±m

2(m-1)

，再由x₁=

-m+2-m

2(m-1)

=-1，即可得出抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1总过定点（-1，0）；
（3）由

1

m-1

是整数，得出m是整数，且m≠0，m≠1，则m=2，求出抛物线为y=x²-1，再写出把它的图象向右平移3个单位长度的解析式即可．

解答：（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=（m-2）²+4（m-1）=m²＞0，
∴m≠0，
∵是关于x的一元二次方程，
∴m-1≠0，
∴m的取值范围是m≠0且m≠1的实数；

（2）证明：令y=0得，（m-1）x²+（m-2）x-1=0，
∴x=

-(m-2)± m2

2(m-1)

=

-(m-2)±m

2(m-1)

，
∴x₁=

-m+2-m

2(m-1)

=-1，x₂=

-m+2+m

2(m-1)

=

1

m-1

，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0），（

1

m-1

，0），
∴无论m取何值，抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1总过定点（-1，0）；

（3）解：∵x=-1是整数，
∴只需

1

m-1

是整数，
∵m是整数，且m≠0，m≠1，
∴m=2，
当m=2时，抛物线为y=x²-1．
把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y=x²-6x+8．

点评：此题考查了二次函数综合，用到的知识点是二次函数与坐标轴的交点、二次函数的移动、根的判别式、一元二次方程的定义，关键是根据有关定义和公式列出算式．