Question

如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点，连结FE并廷长交BC的延长线于点G，连接BF、BE．且BE⊥FG；
（1）求证：BF=BG．
（2）若tan∠BFG=

3

，S_△CGE=6

3

，求AD的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的性质

专题：

分析：（1）证明△EDF≌△ECG，则EF=EG，即可证得BE是FG的中垂线，根据线段的中垂线的性质即可证得；
（2）根据∠BFG=∠G，在直角△ECG中，根据正切的定义即可求得边长的比值，然后根据面积，即可求得CG的长，然后根据EC是直角△BGE的斜边上的高线，利用射影定理即可求得BC，即可求得AD的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠DCG=90°．
在△EDF和△ECG中，

∠D=∠DCG DE=CE ∠DEF=∠CEG

∴△EDF≌△ECG
∴EF=EG
∵BE⊥FG
∴BE是FG的中垂线，
∴BF=BG；
（2）解：∵BF=BG
∴∠BFG=∠G
∴tan∠BFG=tan∠G=

3

设CG=x，CE=

3

x，
则S△CGE=

3

2

x2=6

3

，
解得：x=2

3

∴CG=2

3

，CE=6
由射影定理得：EC²=BC•CG，
∴BC=6

3

∴AD=6

3

点评：本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，射影定理的应用，正确证明BE是FG的中垂线是关键．