【题目】如图,在边长为2的正方形ABCD中,点P是边AD上的动点(点P不与点A、点D重合),点Q是边CD上一点,联结PB、PQ,且∠PBC=∠BPQ.
(1)当QD=QC时,求∠ABP的正切值;
(2)设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式;
(3)联结BQ,在△PBQ中是否存在度数不变的角?若存在,指出这个角,并求出它的度数;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) ;(2) (0<x<2);(3)见解析
【解析】试题分析:(1)延长PQ交BC延长线于点E.设PD=x,由∠PBC=∠BPQ可得EB=EP,再根据AD//BC,QD=QC可得PD=CE,PQ=QE,从而得BE=EP= x+2, QP=,在Rt△PDQ中,根据勾股定理可得,从而求得的长,再根据正切的定义即可求得;
(2)过点B作BH⊥PQ,垂足为点H,联结BQ,通过证明Rt△PAB Rt△PHB,得到AP = PH =x,通过证明Rt△BHQ Rt△BCQ,得到QH = QC= y,在Rt△PDQ中,根据 勾股定理可得PD2+QD2=PQ2,代入即可求得;
(3)存在,根据(2)中的两对全等三角形即可得.
试题解析:(1)延长PQ交BC延长线于点E,设PD=x,
∵∠PBC=∠BPQ,
∴EB=EP,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD//BC,∴PD∶CE= QD∶QC= PQ∶QE,
∵QD=QC,∴PD=CE,PQ=QE,
∴BE=EP= x+2,∴QP=,
在Rt△PDQ中,∵,∴,解得,
∴,∴;
(2)过点B作BH⊥PQ,垂足为点H,联结BQ,
∵AD//BC,∴∠CBP=∠APB,∵∠PBC=∠BPQ,∴∠APB=∠HPB,
∵∠A=∠PHB=90°,∴BH = AB =2,∵PB = PB,∴Rt△PAB Rt△PHB,
∴AP = PH =x,
∵BC = BH=2,BQ = BQ,∠C=∠BHQ=90°,
∴Rt△BHQ Rt△BCQ,∴QH = QC= y
在Rt△PDQ中,∵,∴,
∴;
(3)存在,∠PBQ=45°.
由(2)可得, , ,
∴.
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【题目】数学实践课上,同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度.小泽同学所在的组先设计了测量方案,然后开始测量了.他们全组分成两个测量队,分别负责室内测量和室外测量(如图).室内测量组来到教室内窗台旁,在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°,旗杆底部B的俯角β为60°. 室外测量组测得BF的长度为5米.则旗杆AB=______米.
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【题目】如图,小强从A处出发沿北偏东70°方向行走,走至B处,又沿着北偏西30°方向行走至C处,此时需把方向调整到与出发时一致,则方向的调整应是( )
A. 左转 80° B. 右转80° C. 右转 100° D. 左转 100°
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【题目】如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点分别在BC和CD上,下列结论:
(1)BE=DF;(2)∠AEB=75°;(3)BE+DF=EF;(4).
其中正确的序号是____________(把你认为正确的序号都填上)
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【题目】三张形状、大小相同但画面不同的风景图片,都按同样的方式剪成相同的三段,然后将上、中、下三段分别混合洗匀,从三堆图片中随机各抽出一张, 求这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率.
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【题目】下表数据是科研小组在某地区根据调查获取的:“距离地面的高度(千米)与此处的温度(摄氏度)”的关系。
距离地面高度/千米 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
温度/摄氏度 | 20 | 14 | 8 | 2 | -4 | -10 |
根据上表,请你回答:
(1)上表中___________是自变量;_________________是因变量;
(2)如果用表示距离地面的高度(千米),表示温度(摄氏度),请你写出与的关系式____________________________________;
(3)请你利用(2)的结论,求该地区:①距离地面6.2千米的高空温度是多少?②当高空某处温度为-52度时,该处的高度是多少?
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【题目】甲、乙两车同时同时出发从A地前往B地,乙行驶途中有一次停车修理,修好后乙车的行驶速度是原来的2倍.两车距离A地的路程(千米)与行驶时间(时)的函数图象如图所示.
(1)求甲车距离A地的路程(千米)与行驶时间(时)之间的函数关系式;
(2)当x=2.8时,甲、乙两车之间的距离是 千米;乙车到达B地所用的时间的值为 ;
(3)行驶过程中,两车出发多长时间首次后相遇?
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