Question

17．如图，BF=AC，FD=CD，BD=AD，求证：AC⊥BE．

Answer 1

分析 首先证明△BDF≌△ADC，则∠ADB=∠ADC，∠DBF=∠DAC，据此即可证明∠ADB=∠ADC=90°，然后利用三角形的内角和定理即可证得∠AEF=90°，进而证明垂直．

解答 证明：∵△BDF和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=AC}\\{FD=CD}\\{BD=AD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ADC，
∴∠ADB=∠ADC，∠DBF=∠DAC，
又∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠DBF+∠BFD=90°，
又∵∠AFE=∠BFD，∠DBF=∠DAC，
∴∠DAC+∠AFE=90°，
∴∠AEF=90°，
∴AC⊥BE．

点评 本题考查了三角形全等的判定与性质以及三角形内角和定理，证明∠ADB=∠ADC=90°是本题的关键．